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复习课(二)直接证明与间接证明综合法与分析法(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题1综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法2分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立典例设a0，b0，ab1，求证：8.证明法一：综合法因为a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4，又(ab)24，所以8(当且仅当ab时等号成立)法二：分析法因为a0，b0，ab1，要证8.只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立类题通法综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件1已知a0，b0，如果不等式恒成立，那么m的最大值等于()A10B9C8 D7解析：选Ba0，b0，2ab0.不等式可化为m(2ab)52.52549，即其最小值为9，m9，即m的最大值等于9.2若abcd0且adbc，求证：.证明：要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立.反证法(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用来证明解答题中的一问(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾1使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法典例(1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根解析(1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk(kN*)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN*，都有an.类题通法与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略(1)与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明(2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法1设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析：由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.答案： 2设数列an的前n项和Sn(nN*)，a22.(1)求an的前三项a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并证明解：(1)由Sn得a11，又由a22，得a33.(2)猜想：ann.证明如下：当n1时，猜想成立假设当nk(k2)时，猜想成立，即akk，那么当nk1时，ak1Sk1Sk.所以ak1k1，所以当nk1时，猜想也成立根据知，对任意nN*，都有ann.1用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60”时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析：选B假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60”的否定为“三个内角都大于60”，故选B.2若三角形能分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形 D不能确定解析：选C直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选C.3要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0解析：选D因为a2b21a2b20(a21)(b21)0.故选D.4用反证法证明命题“已知a，b，c(0,2)，求证a(2b)，b(2c)，c(2a)不可能都大于1”时，反证假设时正确的是()A假设a(2b)，b(2c)，c(2a)都小于1B假设a(2b)，b(2c)，c(2a)都大于1C假设a(2b)，b(2c)，c(2a)都不大于1D以上都不对解析：选B反设是否定结论，原命题的结论是不都大于1，所以否定是都大于1.故选B.5设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A BC D解析：选C若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.6已知c1，a，b，则正确的结论是()Aab BabCab Da，b大小关系不定解析：选B假设ab，即 ，2，平方得2c24c，2c2，c，即c2c21，01，这不可能，假设不成立，故ab.7已知函数f(x)x，a，bR，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为_解析：由，又f(x)x在R上是单调减函数，ff()f，即ABC.答案：ABC8用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时的等式左边的差等于_解析：当nk1时，左边(k2)(k3)(2k2)；当nk时，左边(k1)(k2)2k，其差为(2k1)(2k2)(k1)3k2.答案：3k29若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为_解析：由题知直线经过圆心(2,1)，则ab1，所以(ab)332.答案：3210若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，这与abc0矛盾，因此a，b，c中至少有一个大于0.11各项都为正数的数列an满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切nN*恒成立解：(1)aa2，数列a为首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)22n1，又an0，则an.(2)证明：由(1)知，即证1.当n1时，左边1，右边1，所以不等式成立当n2时，左边右边，所以不等式成立假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即1，当nk1时，左边1x，求实数a的取值范围；(3)已知a0，且cn1f(cn)(n1,2，)，证明数列cn是单调递增数列解：(1)当a2时，f(x)x22xln(x1)，f(x)2x2.令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递增函数f(x)的极大值点为x，极小值点为x.(2)f(x)2xa，由f(x)x，得2xax，所以ax(0x1，a1.故所求实数a的取值范围为(，1(3)证明：(用数学归纳法证明)当n1时，c2f(c1)2c1a，c10，c111，又a2(a1)1a0，c2c1，即当n1时结论成立假设当nk(kN*，k1)时结论成立，即ck1ck0，当nk1时，ck2ck1ck1ack11(a1)2(a1)1a0.ck2ck1，即当nk1时结论成立由知数列cn是单调递增数列
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