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第九节函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)“对勾”函数模型f(x)x(a0)2三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax对勾函数yx(a0)在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减.当x0时，x时取最小值2；当 x0时，x时取最大值2. (1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n1)时，增长较慢；当n值较大(n1)时，增长较快.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A一次函数模型B幂函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析：选A根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选C小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过_小时解析：设需经过t小时，由题意知24t4 096，即16t4 096，解得t3.答案：34某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_解析：由题意可得y答案：y5生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析：设利润为L(x)，则利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：18典例精析加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t222，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟答案3.75解题技法求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题过关训练1某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为()A11.5元B11元C10.5元 D10元解析：选A根据题意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.2某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元解析：选D设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0,30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)0，故L(p)在p30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)23 000.分类例析类型(一)构建一、二次函数模型例1某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m6,8，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划解(1)由题意得y110x1(20mx1)(10m)x120(0x1200且x1N)，y218x2(408x2)0.05x0.05x10x2400.05(x2100)2460(0x2120且x2N)(2)6m8，10m0，y1(10m)x120为增函数又0x1200，x1N，当x1200时，生产A产品的最大利润为(10m)200201 980200m(万美元)y20.05(x2100)2460(0x2120，且x2N)，当x2100时，生产B产品的最大利润为460万美元(y1)max(y2)max(1 980200m)4601 520200m.易知当6m7.6时，(y1)max(y2)max.即当6m7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当m7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；当7.6m8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润解决一、二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 类型(二)构建指数函数、对数函数模型例2(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年B2019年C2020年 D2021年(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时解析(1)设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元根据题意得130(112%)n1200，则lg130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年故选C.(2)由已知得192eb，48e22kbe22keb，将代入得e22k，则e11k，当x33时，ye33kbe33keb319224，所以该食品在33 的保鲜时间是24小时故选C.答案(1)C(2)C指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题 类型(三)构建yax的函数模型例3某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少解设该场x(xN*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)从而有y(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10时，y有最小值故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少应用函数f(x)ax模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件 类型(四)构建分段函数模型例4某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3，x为整数，3x6，xZ.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.f(x)(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x11532(6x20，xZ)，当x11时，ymax270.270185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多解决分段函数模型问题的3个注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 共性归纳建立函数模型解应用题的4步骤审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型建模将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型求模求解数学模型，得出数学结论还原将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中过关训练1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元 B20元C30元 D.元解析：选A设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100时，100k120100k2，化简得k2k1.当t150时，150k2150k1201502010(元)2某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本x35917年利润y1234给出以下3个函数模型：ykxb(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型解：(1)将(3,1)，(5,2)代入ykxb(k0)，得解得yx.当x9时，y4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得yx2.当x9时，y28，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得ylog2(x1)当x9时，ylog283；当x17时，ylog2164.故可用来描述x，y之间的关系(2)令log2(x1)6，则x65.年利润10%，该企业要考虑转型 1某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100xBy50x250x100Cy502x Dy100log2x100解析：选C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.2某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A118元 B105元C106元 D108元解析：选D设进价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.故选D.3(2018北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A点M B点NC点P D点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.4(2019洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少则下列函数最符合要求的是()Ay(x50)2500 By10500Cy(x50)3625 Dy5010lg(2x1)解析：选C由题意知，拟定函数应满足：是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；在x50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y(x50)2500先减后增，不符合要求；B中，函数y10500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y5010lg(2x1)是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y(x50)3625是由函数yx3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求故选C.5(2019邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y1(x0)已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为()A30.5万元 B31.5万元C32.5万元 D33.5万元解析：选B由题意，产品的生产成本为(30y4)万元，销售单价为150%50%，故年销售收入为zy45y6x.年利润Wz(30y4)x15y217(万元)当广告费为1万元时，即x1，该企业甲产品的年利润为1731.5(万元)故选B.6拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元解析：m6.5，m6，则f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.247(2019唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4.化简得x60.9x0.令f(x)x60.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元答案：48.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为_解析：根据题意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x6)，由y10.5，解得3x4.因为3,4 2,6)，所以腰长x的取值范围为3,4答案：3,49.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解：(1)如图，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x10，所以当x4,8时，S(x)单调递增，所以当x8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米10近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)(x0，k为常数) .记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费由C(0)24，得k2 400，所以y150.5x0.5x(x0)(2)因为y0.5(x5)2.522.557.5，当且仅当0.5(x5)，即x55时取等号，所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元11选做题某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)万元(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p(x)万元，可得每台机器人的平均成本yx1212.当且仅当x，即x300时，上式等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买300台(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)当1m30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60m)160m29 600m，当m30时，日平均分拣量有最大值144 000件当m30时，日平均分拣量为480300144 000(件)300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件若传统人工分拣144 000件，则需要人数为120(人)日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少100%75%.
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