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阶段质量检测（一） 解三角形(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，ak，bk(k0)，A45，则满足条件的三角形有()A0个B1个C2个 D无数个解析：选A由正弦定理得，sin B1，即sin B 1，这是不成立的所以没有满足此条件的三角形2在ABC中，A，BC3，AB，则C()A.或 B.C. D.解析：选C由，得sin C.BC3，AB，AC，则C为锐角，故C.3在ABC中，a15，b20，A30，则cos B()A B.C D.解析：选A因为，所以，解得sin B.因为ba，所以BA，故B有两解，所以cos B.4在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，则sin Asin Bsin C等于()A654 B753C357 D456解析：选B(bc)(ca)(ab)456，.令k(k0)，则解得sin Asin Bsin Cabc753.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2，则ABC的形状为()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：选B由已知可得，即cos A，bccos A.法一：由余弦定理得cos A，则bc，所以c2a2b2，由此知ABC为直角三角形法二：由正弦定理，得sin Bsin Ccos A在ABC中，sin Bsin(AC)，从而有sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A，即sin Acos C0.在ABC中，sin A0，所以cos C0.由此得C，故ABC为直角三角形6已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8C. D.解析：选C2R8，sin C，SABCabsin C.7在ABC中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A. B.C. D.解析：选B三边不等，最大角大于60.设最大角为，故所对的边长为a2，sin ，120.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，故a5，故三边长为3,5,7，SABC35sin 120.8.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()A. B.C. D.解析：选D设BDa，则BC2a，ABADa.在ABD中，由余弦定理，得cos A.又A为ABC的内角，sin A.在ABC中，由正弦定理得，.sin Csin A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)9在ABC中，已知，则这个三角形的形状是_解析：由正弦定理得，tan Atan Btan C，ABC，三角形ABC为等边三角形答案：等边三角形10在ABC中，B30，C120，则A_，abc_.解析：A180BC30，由正弦定理得abcsin Asin Bsin C，即abcsin 30sin 30sin 12011.答案：301111已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则B_，ABC的面积等于_解析：由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.答案：12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2a，BA60，则A_，三角形的形状为_解析：b2a，由正弦定理，得sin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos A2sin A，tan A.又0A180，A30，B90.答案：30直角三角形13已知三角形ABC中，BC边上的高与BC边长相等，则的最大值是_解析：由题意得， bcsin Aa2bcsin Aa2，因此2cos A2sin A2sin2，从而所求最大值是2.答案：214在ABC中，已知cos A，cos B，b3，则sin C_，c_.解析：在ABC中，cos A0，sin A.cos B0，sin B.sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.答案：15太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_km.解析：如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1(km)由正弦定理得，BCsin 15(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75(km)答案：三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(14分)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解：(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1.所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.17.(15分)如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km，在BCD中，由余弦定理，得cosBDC.设ADC，则cos ，sin ，在ACD中，由正弦定理得，得，所以ADsin(60)15(km)，即所求D，A之间的距离为15 km.18.(15分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离解：由题意知AB40，A120，ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 120402402240404023，所以BP40.又PBC90，BC6080，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，所以PC40海里19(15分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2AB)2sin A2cos(AB)sin A.(1)求的值；(2)若ABC的面积为，且a1，求c的值解：(1)sin(2AB)2sin A2cos(AB)sin A，sinA(AB)2sin A2cos(AB)sin A，sin(AB)cos Acos(AB)sin A2sin A，sin B2sin A，由正弦定理得b2a，.(2)a1，b2，SABCabsin C12sin C，所以sin C，cos C，当cos C时，cos C，c.当cos C时，cos C，c.故c或c.20(15分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin Acos A2.(1)求角A的大小；(2)现给出三个条件：a2；B；cb.试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC的面积(写出一种方案即可)解：(1)依题意得2sin2，即sin1，0A，A，A，A.(2)参考方案：选择.由正弦定理，得b2.ABC，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，SABCabsin C221.
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