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模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数z12i，z21i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第三象限C第二象限 D第四象限解析：选D，对应点在第四象限2函数yxsin x，x的最大值是()A1 B.1C D1解析：选Cy1cos x0，所以yxsin x在上为增函数当x时，ymax.3使不等式成立的条件是()Aab BabCab，且ab0 Dab，且ab0解析：选D欲使成立，需使0，即0，结合选项可知选D.4设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)f(1)Cf(1)f(1). 8若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：选B由2xln xx2ax3，得a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中横线上)9用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为_答案：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数10设f(x)xln x，则f(1)_，若f(x0)2，则x0的值为_解析：由f(x)xln x，得f(x)ln x1，f(1)1；根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.答案：1e11已知z1i，则|z|_，_.解析：|z|，2i.答案：2i12若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为_，单调递减区间为_解析：f(x)2x20，即0.x0，(x2)(x1)0.x2.由f(x)0，解得(0,2)答案：(2，)(0,2)13某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍去)则p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元答案：3023 00014用数学归纳法证明“1n(nN*，n1)”时，由nk(kN*，k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：令f(n)1，f(k1)1，因此应增加的项为，共2k项答案：2k15函数yln x(x0)的图象与直线yxa相切，则a_.解析：y(ln x)(x0)，又yln x的图象与直线yxa相切，x2，因此，切点P(2，ln 2)在直线yxa上，ln 21a，aln 21.答案：ln 21三、解答题(本大题共5小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知abc，求证：.证明：已知abc，因为2224，所以4，即.17(本小题满分15分)设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在(，1m)，(1m，)内是减函数，在(1m,1m)内是增函数函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2.18(本小题满分15分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)19(本小题满分15分)已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)a1S11，所以a11.又因为an0，所以a11.S2a1a21，所以a2.S3a1a2a31，所以a3.(2)由(1)猜想an，nN*.下面用数学归纳法加以证明：当n1时，由(1)知a11成立假设nk(kN*)时，ak成立当nk1时，ak1Sk1Sk，所以a2ak120，所以ak1，即当nk1时猜想也成立综上可知，猜想对一切nN*都成立20(本小题满分15分)已知函数f(x)ex2x23x.(1)求证：函数f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当x时，若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立，试求实数a的取值范围解：(1)证明：f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)在区间0,1上存在唯一零点，f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由f(x)x2(a3)x1，得ex2x23xx2(a3)x1，即axexx21，x，a.令g(x)，则g(x).令(x)ex(x1)x21，则(x)x(ex1)x，(x)0.(x)在上单调递增(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，a的取值范围是.
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