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考点规范练46椭圆基础巩固组1.(2017浙江高考)椭圆x29+y24=1的离心率是()A.133B.53C.23D.59答案B解析e=9-43=53,故选B.2.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P到椭圆左焦点的距离为()A.4B.3C.2D.5答案A解析由题意知|OM|=12|PF2|=3,所以|PF2|=6,|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为22,则实数m等于()A.2B.2或83C.2或6D.2或8答案D解析显然m0,且m4,当0m4时,椭圆长轴在y轴上,则14-1m14=22,解得m=8.4.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若PF1F2=30,则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16答案A解析设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为PF2的中位线.所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90.因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|c=3|PF2|2,则e=ca=3|PF2|223|PF2|=33.故选A.5.(2018浙江衢州二调)设椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足PF1PF2=9,则|PF1|PF2|的值为()A.8B.10C.12D.15答案D解析由椭圆方程x216+y212=1,可得c2=4,所以|F1F2|=2c=4.因为F1F2=PF2-PF1,所以|F1F2|=|PF2-PF1|,两边同时平方,得|F1F2|2=|PF1|2-2PF1PF2+|PF2|2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+2PF1PF2=16+18=34,根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=64,所以34+2|PF1|PF2|=64.所以|PF1|PF2|=15.故选D.6.如图,OFB=6,ABF的面积为2-3,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为.答案x28+y22=1解析设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,|BF|=a.OFB=6,bc=33,a=2b.SABF=12|AF|BO|=12(a-c)b=12(2b-3b)b=2-3,解得b2=2,则a=2b=22.所求椭圆的方程为x28+y22=1.7.(2018浙江重点中学联考)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与椭圆C2:y2a2+x2b2=1(ab0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为.答案22解析联立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,两式相减得x2-y2a2=x2-y2b2,因为ab,所以x2=y2=a2b2a2+b2.所以四边形ABCD为正方形,4a2b2a2+b2=163,(*)又由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,则a2=4.所以椭圆C的离心率e=22.8.设P为椭圆x24+y23=1上一点,F为椭圆的右焦点,A(2,2),则|PA|-|PF|的最小值为.答案13-4解析设椭圆的左焦点为F(-1,0),则|PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF|)=|PA|+|PF|-2a|AF|-2a=13-4,当且仅当A,P,F三点共线时等号成立,且P在A,F之间时达到,故|PA|-|PF|的最小值为13-4.能力提升组9.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)左焦点F,且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为()A.33B.63C.34D.23答案B解析设椭圆的左焦点为F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.由韦达定理得x1+x2=-2a2ca2+b2,所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.根据OA+OB与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-2a2ca2+b2+32b2ca2+b2=0,解得b2a2=13,所以e=1-b2a2=63,故选B.10.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P,过点P向x轴作垂线,垂足为H,若|PH|=a2,则此椭圆的离心率为()A.5-12B.32C.17-14D.22-2答案C解析F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P,过点P向x轴作垂线,垂足为H,|PH|=a2,x2a2+a24b2=1,解得x2=4a2b2-a44b2,c2=4a2b2-a44b2+a2b24b2=5a2b2-a44b2,4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4,4a2c2-4c4=4a4-5a2c2,4e2-4e4=4-5e2,4e4-9e2+4=0,0e1,e2=9-178,e=17-14.故选C.11.(2017课标高考)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A解析由题意,可知当点M为短轴的端点时,AMB最大.当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan60=3,即3m3,解得03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan60=3,即m33,解得m9,综上m的取值范围为(0,19,+),故选A.12.已知直线l:y=kx+2过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L455,则椭圆离心率e的取值范围是()A.0,55B.0,255C.0,355D.0,455答案B解析依题意,知b=2,kc=2.设圆心到直线l的距离为d,则L=24-d2455,解得d2165.又因为d=21+k2,所以11+k245,解得k214.于是e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以0e245,解得0b0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为()A.13B.25C.55D.53答案D解析(方法一)|OA|=|OF2|=2|OM|,点M在椭圆C的短轴上.设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|=12|F1F2|.AF1AF2,从而AF1F2OMF2,|AF1|AF2|=|OM|OF2|=12.又|AF1|2+|AF2|2=(2c)2,|AF1|=255c,|AF2|=455c.又|AF1|+|AF2|=2a,655c=2a,即ca=53.故选D.(方法二)|OA|=|OF2|=2|OM|,点M在椭圆C的短轴上.在RtMOF2中,tanMF2O=|OM|OF2|=12,设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|=12|F1F2|.AF1AF2.tanAF2F1=|AF1|AF2|=12.设|AF1|=x(x0),则|AF2|=2x,|F1F2|=5x.e=2c2a=|F1F2|AF1|+|AF2|=5xx+2x=53.故选D.14.已知椭圆C:x2a2+y22=1(a2)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex+a,P为点F1关于直线l对称的点,若PF1F2为等腰三角形,则a的值为.答案3解析由题意可得c=a2-2,e=a2-2a,F1(-c,0)到直线l的距离为d=|a-ec|1+e2,由题意可得|PF1|=|F1F2|,即为2d=2c,即有a-a2-2a21+a2-2a2=a2-2,化简可得a4-3a2=0,解得a=3.15.(2018浙江衢州二中二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)短轴的端点为P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-14,则点P到直线QM的距离为.答案455b解析设A点的坐标为(x0,y0),则B点的坐标为(-x0,-y0),根据题意可知y0-bx0-y0-b-x0=-14,即y02-b2x02=-14,因为x02a2+y02b2=1,所以y02-b2x02=-b2a2.故-b2a2=-14,则ba=12,不妨取点M(a,0),则直线QM的方程为bx-ay-ab=0.故点P到直线QM的距离为d=|2ab|a2+b2=2b1+ba2=455b.16.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是.答案33,22解析设P(x,y),则PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,将y2=b2-b2a2x2代入式解得x2=(2c2-b2)a2c2=(3c2-a2)a2c2,又x20,a2,2c2a23c2,e=ca33,22.17.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB的斜率互为相反数.(1)解设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为e=32,所以a2=4b2,又因为M(4,1)在椭圆上,所以16a2+1b2=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为x220+y25=1.(2)解将y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,=(8m)2-20(4m2-20)0,解得-5mb0)的左顶点A作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为B,与y轴的交点为C,已知AB=613BC.(1)求椭圆的离心率;(2)设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,若x轴上存在一定点M(1,0),使得PMQM,求椭圆的方程.解(1)A(-a,0),设直线方程为y=2(x+a),B(x1,y1).令x=0,则y=2a,C(0,2a),AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1).AB=613BC,x1+a=613(-x1),y1=613(2a-y1),整理,得x1=-1319a,y1=1219a.B点在椭圆上,13192+12192a2b2=1,b2a2=34,a2-c2a2=34,即1-e2=34,e=12.(2)b2a2=34,可设b2=3t,a2=4t,椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0.由3x2+4y2-12t=0,y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.设P(x1,y1),则有x1=-8km2(3+4k2)=-4km3+4k2,y1=kx1+m=3m3+4k2,P-4km3+4k2,3m3+4k2.又M(1,0),Q(4,4k+m),若x轴上存在一定点M(1,0),使得PMQM,1+4km3+4k2,-3m3+4k2(-3,-(4k+m)=0恒成立.整理,得3+4k2=m2,3+4k2=3t+4k2t恒成立.故t=1,所求椭圆方程为x24+y23=1.
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