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15.1曲边梯形的面积 15.2汽车行驶的路程学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？ 答案直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考2如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示) (3)求曲边梯形面积的步骤：分割；近似代替；求和；取极限知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.1求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()2当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值，只能用2近似代替()3利用求和符号计算(i1)40.()类型一求曲边梯形的面积例1求由直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解令f(x)x21.(1)分割将区间0,2n等分，分点依次为x00，x1，x2，xn1，xn2.第i个区间为(i1,2，n)，每个区间长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Snx22(1222n2)222.(3)取极限SSn ，即所求曲边梯形的面积为.反思与感悟求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用一些常见的求和公式，如123n，122232n2，132333n32.跟踪训练1求由直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的图形的面积考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题解(1)分割将区间0,1等分为n个小区间：，其中i1,2，n，每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替在区间(i1,2，n)上，以处的函数值2为高，小区间的长度x为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即Si2.(3)求和Si202221222(n1)2.(4)取极限曲边梯形的面积S .类型二求变速运动的路程例2当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(单位：km/h)，那么它在1t2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题解将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为.所以siv.snv 3.s sn .所以这段时间行驶的路程为 km.引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为.所以siv.snv31222(n1)2n22462(n1)2n3.s sn .所以这段时间行驶的路程为 km.所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪训练2一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)t25(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题解(1)分割：在区间0,2上等间隔插入n1个点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i1,2，n)，t.则汽车在时间段，上行驶的路程分别记为：s1，s2，si，sn，有snsi.(2)近似代替：取i(i1,2，n)，sivt(i1,2，n)(3)求和：snsi810.(4)取极限：ssn .1把区间1,3 n等分，所得n个小区间的长度均为()A. B. C. D.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案B解析区间1,3的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.2在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C3一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为()A. B. C1 D.考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题答案B4._.考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示答案解析(12n).5求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案1.02解析将区间5等分所得的小区间为，于是所求平面图形的面积近似等于1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n等分区间a，b；(2)近似代替：取点ixi1，xi；(3)求和：(i)；(4)取极限：s (i).“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)一、选择题1和式(xi1)可表示为()A(x11)(x51)Bx1x2x3x4x51Cx1x2x3x4x55D(x11)(x21)(x51)考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示答案C解析(xi1)(x11)(x21)(x31)(x41)(x51)x1x2x3x4x55.2在求由xa，xb(ab)，yf(x) (f(x)0)及y0围成的曲边梯形的面积S时，在区间a，b上等间隔地插入(n1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()n个小曲边梯形的面积和等于S；n个小曲边梯形的面积和小于S；n个小曲边梯形的面积和大于S；n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A1 B2C3 D4考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案A解析n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.正确，错误3在求由直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2等分成n个小区间，则第i个小区间是()A. B.C. D.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C解析将区间0,2等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.4在求由曲线y与直线x1，x3，y0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i个小曲边梯形的面积Si约等于()A. B.C. D.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案A解析每个小区间的长度为，第i个小曲边梯形的高为，第i个小曲边梯形的面积为.5在等分区间的情况下f(x)(x0,2)及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A. B. C. D. 考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案B解析x，和式为 .故选B.6对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B.C. D.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案D解析将区间0,1三等分为，各小矩形的面积和为S0333.7设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x(其中x为小区间的长度)，那么Sn的大小()A与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)和区间a，b的分点的个数n有关，与i的取法无关C与f(x)和区间a，b的分点的个数n，i的取法都有关D与f(x)和区间a，b的i的取法有关，与分点的个数n无关考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C解析用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x.若对和式求极限，则可以得到函数yf(x)的图象与直线xa，xb，y0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关8. 的含义可以是()A求由直线x1，x5，y0，y3x围成的图形的面积B求由直线x0，x1，y0，y15x围成的图形的面积C求由直线x0，x5，y0，y3x围成的图形的面积D求由直线x0，x5，y0及曲线y围成的图形的面积考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C解析将区间0,5n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y，因此可以表示由直线x0，x5，y0和y3x围成的图形的面积的近似值9若直线y2x1与直线x0，xm，y0围成图形的面积为6，则正数m等于()A1 B3C2 D4考点求曲边梯形的面积问题题点由曲边梯形的面积求参数答案C解析将区间0，mn等分，每个区间长为，区间左端点函数值y21，作和Snm(123n)mm，S 6，m2.故选C.二、填空题10在区间0,8上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为_，第5个小区间是_考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案解析在区间0,8上插入9个等分点后，把区间0,810等分，每个小区间的长度为，第5个小区间为.11已知某物体运动的速度vt，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题答案55解析把区间0,1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2，10)，每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值s1(1210)55.12当n很大时，下列可以代替函数f(x)x2在区间上的值有_个f；f；f；f.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案3解析因为当n很大时，区间上的任意的取值都可以代替，又因为，故能代替的有.三、解答题13求由直线x0，x1，y0和曲线yx22x围成的图形的面积考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题解将区间0,1n等分，每个区间长度为，区间右端点函数值y22.作和Sn2n(n1)(2n1)，所求面积S .四、探究与拓展14设函数f(x)的图象与直线xa，xb及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积已知函数ysin nx在(nN*)上的面积为，则ysin 3x在上的面积为_考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案解析由于ysin nx在(nN*)上的面积为，则ysin 3x在上的面积为.而ysin 3x的周期为，所以ysin 3x在上的面积为2.15有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题解(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i1,2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1,2，n)，则显然有ssi.(2)近似代替取i(i1,2，n)，用小矩形的面积si近似地代替si，于是sisivt(i1,2，n)(3)求和snsi(1222n2)4484.(4)取极限s sn 8412.所以这段时间内行驶的路程为12 km.
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