（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程讲义（含解析）.docx

9.8曲线与方程最新考纲考情考向分析了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件吗？提示是.如果曲线C的方程是f(x，y)0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)0，以f(x，y)0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件.2.方程y与xy2表示同一曲线吗？提示不是同一曲线.3.若点P到直线x1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹是什么图形？提示依题意知，点P到直线x2的距离等于它到点(2，0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线.()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(3)ykx与xy表示同一直线.()(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()题组二教材改编2.P37T3已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案D解析由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.3.P35例1曲线C：xy2上任一点到两坐标轴的距离之积为_.答案2解析在曲线xy2上任取一点(x0，y0)，则x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0|2.4.P37B组T1若过点P(1，1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为_.答案xy10解析设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM，l1l2.|PM|OM|，而|PM|，|OM|.，化简，得xy10，即为所求的轨迹方程.题组三易错自纠5.方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.6.已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支答案C解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.7.已知M(2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_.答案x2y24(x2)解析连接OP，则|OP|2，P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，方程为x2y24(x2).题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.解由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2).思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.跟踪训练1在ABC中，|BC|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|CD|2，则顶点A的轨迹方程为_.答案1(x)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.所以|AB|AC|2).题型二直接法求轨迹方程例2已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，所以x11或x10(舍去).设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1).而y，所以y2x1(x1).当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1，0)，满足方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，已知F1PF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足2，求点M的轨迹方程.解(1)设F1(c，0)，F2(c，0)(c0).由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理得2210，得1(舍去)或，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc).A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，代入直线方程得不妨设A，B(0，c).设点M的坐标为(x，y)，则，(x，yc).由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)，由2，即xx2.化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0).题型三相关点法求轨迹方程例3(2018丽水调研)如图所示，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设C，D，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联立解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足xy8，x02，2，由得x0y22y0y160，则代入可得M(x，y)满足可得代入xy8，并化简，得y21，考虑到x02，2，知x4，2，动点M的轨迹方程为y21，x4，2.思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练3如图，动圆C1：x2y2t2，1t3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解由椭圆C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0).设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3).直线A2B的方程为y(x3).由相乘得y2(x29).又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0).因此点M的轨迹方程为y21(x3，y6时，点P的轨迹是椭圆，故选C.4.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点.若2，且1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C.3x2y21(x0，y0)D.3x2y21(x0，y0)答案A解析设A(a，0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，所以即ax0，b3y0.由题意得，点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0).故选A.5.在ABC中，B(2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10C1：y225ABC面积为10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)则满足条件，的轨迹方程依次为()A.C3，C1，C2B.C1，C2，C3C.C3，C2，C1D.C1，C3，C2答案A解析ABC的周长为10，即|AB|AC|BC|10，又|BC|4，所以|AB|AC|6|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；ABC的面积为10，所以|BC|y|10，即|y|5，与C1对应；因为A90，所以(2x，y)(2x，y)x2y240，与C2对应.故选A.6.(2015浙江)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案C解析可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.故选C.7.已知两定点A(2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_.答案4解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于4.8.直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_.答案xy1(x0且x1)解析直线1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2a)，设AB的中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1.因为a0且a2，所以x0且x1.9.已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_.答案1(y0)解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|42，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).10.如图，P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且，则动点Q的轨迹方程是_.答案1解析由于，又22，设Q(x，y)，则，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.11.已知定圆M：(x3)2y216和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.(1)讨论Q点的轨迹可能是下面情形中的哪几种：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点.(2)若定点A(5，0)，试求QMA的面积的最大值.解(1)由题意知|QP|QA|，当A在圆M外时，|MA|4，且|QA|QM|PM|4|MA|，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，见图(1).当A在圆M内，且与M不重合时，|MA|MA|，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，见图(2).当A在圆M上时，l过定点M，l与PM的交点Q就是点M，所以点Q的轨迹就是一个点，见图(3).当A与M重合时，l与PM的交点Q就是PM的中点，所以点Q的轨迹就是圆，见图(4).综上所述，Q点的轨迹可能是四种.(2)因为A(5，0)在圆M内，由(1)知，点Q的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，且|MA|22c，|MP|42a，所以b，由椭圆的几何性质可知，Q为短轴端点时，SMQA最大，所以SMQA的最大值为2cb.12.(2018浙江省普通高中高考模拟考试)已知抛物线C：x22py(p0)过点M(2，4).(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(1，1)的直线l交抛物线C于P1，P2两点，点Q在线段P1P2上，且满足，求点Q的轨迹方程.解(1)把点M(2，4)代入抛物线C：x22py(p0)得48p，所以p，所以抛物线C的方程为x2y.(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y1k(x1).联立，得消去y得x2kx(k1)0，所以k24(k1)0，所以k22.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Q(x，y)，则x1x2k，x1x2k1，又点P1，P2，Q均在直线l上，所以y1k(x1)，y11k(x11)，y21k(x21).由得，即.又(x11)(x21)x1x2x1x21k1k120，点Q在线段P1P2上，所以x11，x21，x1均同号，所以，所以x21，yk(x1)1.由得k(x1)，代入得y12x，所以2xy10(x1).又k22，所以x(1，1)，且x1.所以点Q的轨迹方程为2xy10，x(1，1)(1，1).13.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.xy5B.x2y29C.1D.x216y答案B解析M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，M的轨迹是以A(5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为1.A项，直线xy5过点(5，0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2y29的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，1的右顶点为(5，0)，故椭圆1与M的轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入1，可得y1，即y29y90，0，满足题意.14.设点P(x，y)是曲线a|x|b|y|1(a0，b0)上的动点，且满足2，则ab的取值范围为()A.2，) B.1，2C.1，) D.(0，2答案A解析设F1(0，1)，F2(0，1)，则满足2的点P的轨迹是以F1(0，1)，F2(0，1)为焦点的椭圆，其方程为1.曲线a|x|b|y|1(a0，b0)为如图所示的菱形ABCD，C，D.由于2，所以菱形ABCD在椭圆上或其内部，所以1，即a1，b.所以ab12.故选A.15.曲线C是平面内与两个定点F1(2，0)和F2(2，0)的距离的积等于常数a2(a24)的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_.答案解析因为原点O到两个定点F1(2，0)，F2(2，0)的距离的积是4，又a24，所以曲线C不过原点，即错误；设动点P在曲线C上，因为F1(2，0)，F2(2，0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大于a2，即正确.16.在ABC中，已知A(2，0)，B(2，0)，G，M为平面上的两点且满足0，|，求顶点C的轨迹方程.解设C(x，y)(y0)，则由0，可知G为ABC的重心，得G.又|，即M为ABC的外心，所以点M在y轴上，又，则有M.由|，所以x224，所以顶点C的轨迹方程为1，y0.