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2集合的基本关系学习目标1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若aA，则aB，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)子集的有关性质：(1)是任何集合A的子集，即A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(3)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.(4)若AB，BA，则称集合A与集合B相等，记作AB.知识点二真子集思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集梳理如果集合AB，但AB，称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)知识点三Venn图思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为_答案ABC梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图Venn图可以直观地表达集合间的关系1若用“”类比“”，则“”相当于“”()2空集可以用表示()3若aA，则A.()4若aA，则A.()类型一求集合的子集例1(1)写出集合a，b，c，d的所有子集；(2)若一个集合有n(nN)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论考点子集及其运算题点求集合的子集解(1)，a，b，c，d，a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，b，c，d，a，b，c，d(2)若一个集合有n(nN)个元素，则它有2n个子集，2n1个真子集如，有1个子集，0个真子集反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等跟踪训练1适合条件1A1,2,3,4,5的集合A的个数是()A15 B16 C31 D32考点与两个已知集合有包含关系的集合个数题点与两个已知集合有包含关系的集合个数答案A解析这样的集合A有1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,3,4,5共15个类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M菱形，N平行四边形，P四边形，Q正方形，则这些集合之间的关系为()APNMQBQMNPCPMNQDQNMP考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为_考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案NZQR命题角度2数集间的包含关系例3设集合A0,1，集合Bx|x3，则A与B的关系为()AAB BBACAB DBA考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案C解析02，0B.又12，1B.AB.反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系(3)数形结合法：利用数轴或Venn图跟踪训练3已知集合Ax|1x4，Bx|x5，则()AAB BABCBA DBA考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案B解析由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如2A，故有AB.类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4已知集合Ax|x2x0，Bx|ax1，且AB，求实数a的值考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的值解Ax|x2x00,1(1)当a0时，BA，符合题意(2)当a0时，Bx|ax1，0，要使AB，只有1，即a1.综上，a0或a1.反思与感悟集合A的子集可分三类：，A本身，A的非空真子集，解题中易忽略.跟踪训练4已知集合Ax|1x2，Bx|2a3xa2，且AB，求实数a的取值范围考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解(1)当2a3a2，即a1时，BA，符合题意(2)当a1时，要使AB，需满足这样的实数a不存在综上，实数a的取值范围是a|a1.1下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3考点空集的定义、性质及运算题点空集的定义答案B解析只有正确2集合Px|x210，T1,0,1，则P与T的关系为()APT BPTCPT DPT考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案A3若A1，则下列关系错误的是()A BAACA DA考点空集的定义、性质及运算题点空集的性质答案D4下列正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的Venn图是()考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案B5已知集合A，B，则集合A，B之间的关系为_考点集合的关系题点集合关系的判定答案AB解析A，B，故AB.1对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉3由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：不能忽视集合为的情形；当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.一、选择题1在下列关系中错误的个数是()10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2；0,1,22,0,1；0,1(0,1)A1 B2 C3 D4考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案B解析正确；因为集合1是集合0,1,2的真子集，而不能用符号来表示，所以错误；正确，因为任何集合都是它本身的子集；正确，因为集合元素具有无序性；因为集合0,1表示数集，它有两个元素，而集合(0,1)表示点集，它只有一个元素，所以错误，所以错误的个数是2.故选B.2已知集合M(x，y)|xy0和P(x，y)|x0，y0，那么()APM BMPCMP DMP考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案C解析由得故MP.3已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是()SU；FT；ST；SF；SF；FU.A BC D考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案D解析元素与集合之间的关系才用，故错；子集的区域要被全部涵盖，故错4已知集合Ax|x是三角形，Bx|x是等腰三角形，Cx|x是等腰直角三角形，Dx|x是等边三角形，则()AAB BCBCDC DAD考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案B解析等腰三角形包括等腰直角三角形，CB.5若MP，MQ，P0,1,2，Q0,2,4，则满足上述条件的集合M的个数是()A1 B2 C4 D8考点子集个数题点求集合的子集个数答案C解析P，Q中的公共元素组成集合C0,2，MC，这样的集合M共有224个6设集合A1,1，集合Bx|x22axb0，若B，BA，则(a，b)不能是()A(1,1) B(1,0)C(0，1) D(1,1)考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的值答案B解析当a1，b1时，Bx|x22x101，符合；当ab1时，Bx|x22x101，符合；当a0，b1时，Bx|x2101,1，符合；当a1，b0时，Bx|x22x00，2，不符合7已知集合A，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6 B5 C4 D3考点子集及其运算题点求集合的子集答案A解析方法一集合的子集为，其中含有偶数的集合有6个方法二共有238(个)子集，其中不含偶数的有，.故符合题意的A共有826(个)二、填空题8已知0,1A1,0,1，则集合A的个数为_考点与两个已知集合有包含关系的集合个数题点与两个已知集合有包含关系的集合个数答案1解析由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A1,0,1，所以A1,0,1，满足题意的集合A有1个9已知集合A，B，则集合A，B满足的关系是_(用，连接A，B)考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案AB解析若x0A，即x0，k0Z.2k01Z，x0B，即AB，又B，但A，即AB，AB.10已知集合bx|xR|ax24x10(a，bR)，则ab_.考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的值答案或解析由题意知方程ax24x10有唯一解，当a0时，x，此时b，则ab；当a0时，由(4)24a0，得a4，方程ax24x10的解为x，此时b，则ab.三、解答题11已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C有多少个？考点与两个已知集合有包含关系的集合个数题点与两个已知集合有包含关系的集合个数解先用列举法表示集合A，B.由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4综上，满足题意的集合C共有4个12设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，其中xR，如果BA，求实数a的取值范围考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解由于A0，4，又BA，则当BA时，即0，4是方程x22(a1)xa210的两根，代入方程解得a1.当BA时，()当B时，则4(a1)24(a21)0，解得a1；()当B0或B4时，方程x22(a1)xa210应有两相等实数根0或4，则4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0，满足条件综上，可知a1或a1.13已知集合A1,3，x3，Bx2,1，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由考点子集及其运算题点求集合的子集解因为B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x23，则x1，符合题意若x2x3，则x3x20，所以(x1)(x2x2)0.因为x2x20，所以x10，所以x1，此时x21，集合B中的元素不满足互异性综上所述，存在实数x1，使得B是A的子集，此时A1,3，1，B1,3四、探究与拓展14给定集合U，若非空集合A，B满足AU，BU，且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则称(A，B)为U的一个有序子集对，若U1,2,3,4，则U的有序子集对的个数为()A16 B17 C18 D19考点子集及其运算题点求集合的子集答案B解析当A1时，集合B为集合2,3,4的非空子集，有7个；当A2时，集合B为集合3,4的非空子集，有3个；当A3时，集合B4，有1个；当A1,2时，集合B为集合3,4的非空子集，有3个；当A1,3时，集合B4，有1个；当A2,3时，集合B4，有1个；当A1,2,3时，集合B4，有1个所以符合条件的有序子集对有17个15已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值集合考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解AB，当A时，即方程x24mx2m60无实根，故16m28(m3)0，解得1m.当A时，方程x24mx2m60的根为负，则3m1.综上，实数m的取值集合是.
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