mathematica矩阵运算.ppt

理工数学实验 线性代数 基础实验1矩阵的基本运算基础实验2矩阵的初等变换基础实验3行列式的运算基础实验4求解方程组基础实验5特征值 特征向量专题实验1工资问题专题实验2动物繁殖问题专题实验3作物育种方案的预测问题专题实验4食谱问题 矩阵的基本运算 线性代数基础实验1 理工数学实验 一 实验内容 矩阵的运算 加法 数乘 乘法 转置 逆 二 实验目的 熟悉Mathematica软件中关于矩阵运算的各种命令 三 常用命令 1 MatrixForm A 功能 把矩阵A屏幕输入 2 Transpose A 功能 乘矩阵A的转置矩阵 3 A B功能 求矩阵A与B的和运算 4 A B功能 求矩阵A与B的减运算 5 K A功能 求常数K乘以矩阵A 6 A B功能 求矩阵A与矩阵B的对应元素相乘 7 Inverse A 功能 求矩阵A的逆矩阵 四 例子 求 1 屏幕输出A与B 2 A的转置A 3 求A B的值 4 求A B的值 5 求4A 6 求A B 7 求A 1 已知矩阵 In 1 A 3 1 1 2 1 2 1 2 3 MatrixForm A Out 1 3 1 1 2 1 2 1 2 3 Out 2 MatrixForm 简单操作步骤 In 3 B 1 1 1 2 1 0 1 0 1 MatrixForm B Out 3 1 1 1 2 1 0 1 0 1 Out 4 MatrixForm 四 例子 In 5 Transpose A Out 5 3 2 1 1 1 2 1 2 3 In 6 X 3 2 1 1 1 2 1 2 3 MatrixForm X Out 6 3 2 1 1 1 2 1 2 3 Out 7 MatrixForm In 8 Z A BMatrixForm Z Out 8 4 2 0 4 0 2 2 2 4 Out 9 MatrixForm 四 例子 In 10 W A BMatrixForm W Out 10 2 0 2 0 2 2 0 2 2 Out 11 MatrixForm In 12 K 4V K AMatrixForm V Out 12 4Out 13 12 4 4 8 4 8 4 8 12 Out 14 MatrixForm In 15 U A BMatrixForm U Out 15 3 1 1 4 1 0 1 0 3 四 例子 Out 16 MatrixForm In 17 P Inverse A MatrixForm P Out 17 Out 18 MatrixForm Out 20 四 例子 五 思考与练习 已知矩阵 求 1 2 B 矩阵初等变换 线性代数基础实验2 理工数学实验 一 实验内容 对矩阵作各种变化 初等变换 二 实验目的 1 复习并掌握矩阵初等变换的方法 2 掌握Mathematic软件中关于矩阵初等变换的相关命令 三 常用命令 1 U i j 或a i j 功能 列出U Array a m n 的第i行 第j列元素 2 U i 功能 列出U的第i行的n个元素 3 Transpose U j 功能 列出U的第j列的m个元素 4 U i1 i2 2 ip j1 j2 jq 功能 由行 i1 i2 ip 和列 j1 j2 jq 组成的矩阵 5 U Range i0 i1 Range j0 j1 功能 求行从i0到i1 列从j0到j1组成的子矩阵 6 MatrixQ expr 功能 判别expr是否为矩阵 若是则其值为True 否则为False 7 Dimension expr 功能 给出矩阵expr的维数 四 例子 已知一个3行 4列的矩阵U 它的元素为a i j 求 1 给1行1列元素赋值11 1行 2列元素赋值12 2 取U的第1行元素 以及U转置以后的第1列元素 3 判断 x y z 1 2 是否为矩阵 简单操作过程 In 1 a 1 1 11 给位于矩阵第1行 第1列的元素赋值 In 2 U 1 2 12 表示给矩阵赋值 其中U 1 2 与a 1 2 表示同一个矩阵元素 In 3 U 1 U的第1行元素 Out 3 11 12 a 1 3 对没有赋值的a 1 3 按原样显示 In 4 Transpose U 1 U的第1列元素 Transpost U 是U的转置矩阵 Out 4 11 a 2 1 a 3 1 In 5 U 1 3 2 3 取U的1 3行和2 3列组成于矩阵 Out 5 12 a 1 3 a 3 2 a 3 3 In 8 MatrixQ x y z 1 2 Out 8 False 同一矩阵中每行元素个数相同 四 例子 五 思考与练习 1 已知矩阵 1 求A的行向量组a1 a2 a3 以及列向量组b1 b2 b3 b4 2 求A的一 三 五行 二 三 四列交叉点上的元素做出子矩阵 2 判断下列向量组是否线性相关 行列式运算 线性代数基础实验3 理工数学实验 一 实验内容 行列式的计算 二 实验目的 1 复习矩阵的行列式的求法 矩阵初等变换方法 2 熟悉Mathematic软件中关于求一个矩阵的行列式的命令把矩阵进行初等变换的 三 常用命令 MatrixForm A 功能 把矩阵A屏幕输出 2 Det A 功能 求矩阵A的行列式 3 A B功能 A左乘以B或B右乘以A 四 例子 2 已知B 求 以及 3 利用Cramer法则求解方程组 简单操作过程 1 In 1 A 2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10 MatrixForm A Out 1 2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10 Out 2 MatrixForm 2 In 4 B Transpose A MatrixForm B Out 4 2 1 3 2 5 9 1 8 1 13 5 7 3 7 5 10 Out 5 MatrixForm In 3 Det A Out 3 312 四 例子 In 6 X A BMatrixForm X Out 6 39 39 31 13 39 300 42 231 31 42 60 13 13 231 13 217 Out 7 MatrixForm In 8 Y B AMatrixForm Y Out 8 18 6 16 34 6 171 183 123 16 183 244 133 34 123 133 183 Out 9 MatrixForm 四 例子 3 In 10 a 2 1 5 1 1 4 7 6 1 3 0 6 0 2 1 2 MatrixForm a Det a Out 10 2 1 5 1 1 4 7 6 1 3 0 6 0 2 1 2 Out 11 MatrixForm Out 12 27In 13 d1 8 1 5 1 0 4 7 6 9 3 0 6 5 2 1 2 MatrixForm d1 Det d1 Out 13 8 1 5 1 0 4 7 6 9 3 0 6 5 2 1 2 Out 14 MatrixForm 四 例子 Out 15 81In 16 d2 2 8 5 1 1 0 7 6 1 9 0 6 0 5 1 2 MatrixForm d2 Det d2 Out 16 2 8 5 1 1 0 7 6 1 9 0 6 0 5 1 2 Out 17 MatrixForm Out 18 108In 19 d3 2 1 8 1 1 4 0 6 1 3 9 6 0 2 5 2 MatrixForm d3 Det d3 Out 19 2 1 8 1 1 4 0 6 1 3 9 6 0 2 5 2 Out 20 MatrixForm 四 例子 Out 21 27In 22 d4 2 1 5 8 1 4 7 0 1 3 0 9 0 2 3 5 MatrixForm d4 Det d4 Out 22 2 1 5 8 1 4 7 0 1 3 0 9 0 2 3 5 Out 23 MatrixForm Out 24 41In 25 x1 Det d1 Det a Out 25 3In 26 x2 Det d2 Det a Out 26 4In 27 x3 Det d3 Det a Out 27 1In 28 x4 Det d4 Det a Out 28 四 例子 五 思考与练习 2 利用克莱姆法则求解下列线性方程组 1 2 2 已知 验证 五 思考与练习 求解方程组 线性代数基础实验4 理工数学实验 一 实验内容 求AX B的通解 二 实验目的 通过本实验 使学生认识到虽然在 线性代数 中求AX B的通解比较繁 但在Mathematica软件中却是比较简单的 三 常用命令 1 RowReduce A 功能 作行的线性组合化简A A为m行 n列矩阵 2 Linearsolve A B 功能 计算满足AX B的一个解 A为方阵 3 Nullspace A 功能 计算方程组AX 0的基础解系的向量表 A为方阵 四 例子 1 已知计算A的秩 并计算AX 0的基础解系 2 解方程组 简单操作过程 1 In 1 A 1 1 1 1 1 0 1 1 3 1 1 3 3 2 1 3 In 2 RowReduce A Out 2 1 0 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 显然 A的秩是2 In 3 NullSpace A Out 3 1 0 0 1 1 2 1 0 A的两个线性无关解 2 In 4 M 1 3 1 1 3 1 3 4 1 5 9 8 In 5 B 1 4 6 In 6 LinearSolve M B Out 6 方程组MX B的一个特解 In 7 NullSpace M Out 7 解向量组成一个矩阵 M只有一个解 四 例子 In 8 x c 1 x为MX B的全部解 Out 8 c为任意实数 四 例子 五 思考与练习 1 求下列矩阵的秩 1 2 2 解下列线性方程组 1 2 特征值 特征向量 线性代数基础实验5 理工数学实验 一 实验内容 计算已知矩阵的特征值和属于每一个特征值的特征向量 二 实验目的 1 复习线代中的特征值与特征向量的求法 2 比较Mathematic软件与普通方法的异同之处 三 常用命令 1 Eigenvalues A 功能 求矩阵A的特征值表 2 Eigenvectors A 功能 求矩阵A的特征向量表 3 Eigensystem A 功能 求A的所有特征值 特征向量组成的表 四 例子 已知矩阵 求 1 矩阵A的特征值表 2 求矩阵A的特征向量表 3 求A的所有特征值 特征向量组成的表 四 例子 五 思考与练习 求出下列矩阵的全部特征值与特征向量 工资问题 线性代数专题实验1 理工数学实验 一 实验内容 现有一个木工 一个电工和一个油漆工 三人相互同意彼此装修他们自己的房子 在装修之前 他们达成了如下协议 1 每人总共工作10天 包括给自己家干活在内 2 每人的日工资根据一般的市价60 80元之间 3 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等 表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案 如何计算出他们每人应得的工资 表1 二 实验目的 从实际问题出发 建立线性代数方程组 应用求齐次方程组通解方法 寻求符合实际情况的答案 三 预备知识 线性代数方程组理论 齐次方程组有非零解的条件及基础解系求解的方法 四 实验内容与要求 1 建立线性代数方程组描述问题 以x1表示木工的日工资 x2表示电工的日工资 x3表示油漆工的日工资 根据协议中每人总支出与总收入相等的原则 分别考虑木工 电工及油漆工的总收入和总支出 木工的日工资为x1 则木工的10个工作日总收入为10 x1 而木工 电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为 2天 1天 6天 则木工的总支出为2x1 x2 6x3 于是木工的收支平衡关系可描述为 2x1 x2 6x3 10 x1 依照上面木工收支平衡关系建立的过程 试建立描述电工 油漆工各自的收支平衡关系的另外两个等式 以补充完善成描述实际问题的三个方程的方程组 2 整理描述收支平衡关系的三个等式为三元一次齐次线性方程组 写出齐次方程组的系数矩阵如下 3 在Matlab环境下输入A 键入其中aij为矩阵A的元素具体数据 利用RowReduce A 求解线性方程组的解 四 实验内容与要求 五 练习内容 考虑有一个木工 一个电工 一个油漆工 以及一个装修工四人相互同意彼此装修他们自己的房子 在装修之前 他们约定每人总共工作13天 包括给自己家干活在内 每人的日工资根据一般的市价不超过100元 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等 请为他们制定出一张工作天数的分配方案表 并根据分配方案表确定他们的日工资 动物繁殖问题 线性代数专题实验2 理工数学实验 一 实验内容 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁 将其分成三个年龄组 第一组 0 5岁 第二组 6 10岁 第三组 11 15岁 动物从第二年龄组起开始繁殖后代 经过长期统计 第二年龄组的动物在其年龄平均繁殖4个后代 第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代 第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1 2和1 4 假设农场现有三个年龄段的动物各1000头 问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头 二 实验目的 巩固线性代数的有关知识 培养学生用矩阵知识解决实际问题的能力 三 预备知识 线性代数的矩阵知识 四 实验内容与要求 1 建立动物各年龄段数量预测模型 2 利用所建模型 用数学软件计算15年后各年龄段动物数量 1 研究本问题中当时间无限长时各年龄段动物数量比例的极限状况 2 将此模型推广到研究关于年龄分布的人口预测模型 五 思考问题 作物育种方案的预测问题 线性代数专题实验3 理工数学实验 一 实验内容 假定一个植物园要培育一片作物 它由三种可能基因型AA Aa及aa的某种分布组成 植物园的管理者要求采用的育种方案是 子代总体中的每种作物总是用基因型AA的作物来授粉 子代的基因型的分布如表1 问 在任何一个子代总体中三种可能基因型的分布表达式如何表示 表1 二 实验目的 通过本实验进一步巩固 线性代数 中关于矩阵特征值 特征向量及矩阵对角化的知识 培养学生把实际问题转化为数学问题来求解的能力 三 预备知识 1 特征值 特征向量的概述 2 特征值 特征向量的解法 3 生物遗传规律 若亲代的基因型为AA Aa及aa 其中A为显性基因 a为隐性基因 而产生子代时 都用AA型亲代去配对 则子代的基因型就有如下分布 AA与AA配对 子代中只有AA型AA与Aa配对 子代中有AA Aa两种基因型 且出现的概率都为1 2AA与aa配对 子代中只有Aa型4 在实际计算中 我们采用数值计算方法 这类计算方法有很多 如幂法 雅可比方法等 Mathmatica软件提供了现成的软件包 函数Eigenvalues A 该函数的结果为矩阵A的特征值组成的表 函数Eigenvectors A 该函数的结果为矩阵A的特征向量组成的表 四 实验内容与要求 1 建立第n代基因型的分布表达式 本实验是利用遗传规律及所给的表 写出第n代和第n 1代的基因关系 然后通过矩阵知识 找到第n代基因型与初始基因型的直接关系 最后由初始基因型求第n代基因型的分布表达式 不妨令an bn cn分别表示在第n代中AA Aa aa基因作物所占的分数 a0 b0 c0表示对应基因型的初始分布 则有 四 实验内容与要求 由上递推式可求出an bn cn与a0 b0 c0的关系 2 利用矩阵的特征值 特征向量的知识 3 编写Mathematica程序 假设一片作物是由AA Aa及aa基因型的某种分布组成 且作物总体中每种作物不是全部都用基因型AA授粉 而是用每种作物自身的基因型来授粉 求任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式 五 思考问题 食谱问题 线性代数专题实验4 理工数学实验 一 实验内容 某公司饲养实验用的动物以供出售 已知这些动物的生长对饲料中三种营养成分 蛋白质 矿物质 维生素特别敏感 每个动物每天至少需要蛋白质70g 矿物质3g 维生维10mg 该公司能买到5种不同的饲料 每种饲料1kg所含营养成分如表1所示 每种饲料1kg的成本如表2所示 求既能满足动物生长需要 又使总成本最低的饲料配方 表2五种饲料单位重量 1kg 成本 表1五种饲料单位重量 1kg 所含营养成分 一 实验内容 二 问题分析 模型评述设有n种食物 每种食物中含有m种营养成分 用aij表示一个单位的第j种食物中含有第i种营养的数量 用bi表示每人每天对第i种营养的最低需求量 cj表示第j种食品的单价 xj表示所用的第j种食品的数量 一方面满足m种营养成分的需要同时使事物的总成本最低 一般的食谱问题的线性规划模型为 设表示混合饲料中所含的第种饲料的数量 由于提供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量70g 故应有 二 问题分析 同理 考虑矿物质和维生素的需要 应有 三 问题解答 In 1 c 0 2 0 7 0 4 0 3 0 5 A 0 30 2 00 1 00 0 60 1 80 0 10 0 05 0 02 0 20 0 05 0 05 0 10 0 02 0 20 0 08 b 70 3 10 result LinearProgramming c A b f c resultOut 4 0 0 0 39 7436 25 641 Out 5 24 7436 或In 1 ConstrainedMin 0 2x1 0 7x2 0 4x3 0 3x4 0 5x5 0 3x1 2 0 x2 1 0 x3 0 6x4 1 8x5 70 0 1x1 0 05x2 0 02x3 0 2x4 0 05x5 3 0 05x1 0 1x2 0 02x3 0 2x4 0 08x5 10 x1 x2 x3 x4 x5 Out 1 24 7436 x1 0 x2 0 x3 0 X4 39 7436 x5 25 641 四 结果分析 可以看出 用两个不同函数LinearProgramming和ConstrainedMin求得相同的解 即 该公司可分别购买第四种饲料39 74 kg 和第五种饲料25 64 kg 配成混合饲料 所耗成本24 74 元 为满足营养条件下的最低成本 五 思考问题 某工厂生产四种不同型号的产品 而每件产品的生产要经过三个车间的加工 根据该厂现有设备和劳动力等生产条件 可以确定各车间每日的生产能力 我们把它们折合成有效工时数来表示 各车间每日可利用的有效工时数 每个产品在各车间加工时所花费的工时数以及每件产品可获得的利润见表3问每种产品每季度各应该生产多少 才能使这个工厂每季度生产总值最大 表3