高中全程复习方略配套课件选修坐标系.ppt

第一节坐标系 三年16考高考指数 1 了解坐标系的作用 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 2 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 3 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 表示的极坐标方程 1 将点的极坐标与直角坐标互相转化 直线和圆的位置关系是考查重点 2 高考题型随课改区的高考要求而定 可以是选择题 填空题 也可以是解答题 1 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换 即改变 或 的单位长度 将会对图形产生影响 x轴 y轴 即时应用 思考 如何调整下面平面直角坐标系中x轴 y轴的单位长度 使得所给图中的椭圆变为一个圆 提示 方法一 y轴的单位长度保持不变 x轴的单位长度缩小为原来的如图 1 方法二 x轴的单位长度保持不变 y轴的单位长度伸长为原来的2倍 如图 2 2 极坐标系的概念 1 极坐标系如图所示 在平面内取一个 O 叫作极点 从O点引一条 Ox 叫作极轴 选定一个 和 的正方向 通常取 方向 这样就确定了一个平面极坐标系 简称为极坐标系 定点 射线 单位长度 角 逆时针 2 极坐标对于平面内任意一点M 用 表示 表示以Ox为始边 OM为终边的 叫作点M的极径 叫作点M的极角 有序实数对 叫作点M的极坐标 记作 当点M在极点时 它的极径 极角 可以取 3 极坐标与直角坐标的互化设点P的直角坐标为 x y 它的极坐标为 线段OM的长 角度 M 0 任意值 与原点重合 与x轴非负半轴重合 取相同的单位长度 极点 极轴 即时应用 1 思考 若 0 0 2 如何将点的直角坐标 3 4 化为极坐标 提示 由得 2 x2 y2 25 tan 由于点 3 4 在第二象限 故 为钝角 所以点 3 4 的极坐标为点 5 其中 为钝角 且 2 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 极坐标系中点M的极坐标是惟一的 极坐标为 2 的点在第一象限 极坐标系中 点 3 与点 3 相同 解析 极坐标系中的点 当 0 2 时 除极点以外 M的极坐标才是惟一的 当 R时 M的极坐标不惟一 故不正确 点的极坐标 2 中 极角的终边在第二象限 极径大于0 故点在第二象限 故不正确 极坐标系中 点 3 与点 3 的极角的终边相同 极径相等 两点相同 所以正确 答案 3 直线的极坐标方程 1 特殊位置的直线的极坐标方程 过极点 倾斜角为 R 或 R 和 0 过点 a 0 与极轴垂直 a cos a 0 过点 a 与极轴平行 sin 2 一般位置的直线的极坐标方程 若直线l经过点M 0 0 且极轴到此直线的角为 直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 即时应用 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 1 过极点的射线l上任意一点的极角都是则射线l的极坐标方程为 0 2 过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程为 0 解析 根据极径的意义 OM 可知 0 若 0 则 0 规定点M 与点N 关于极点对称 所以可得 1 过极点的射线l上任意一点的极角都是则射线l的极坐标方程为 0 所以 1 正确 2 过极点 倾斜角为的直线分为两条射线OM OM 它们的极坐标方程为 0 所以过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程为 和 0 也可以表示为 R 所以 2 不正确 答案 1 2 4 半径为r的圆的极坐标方程 1 特殊位置的圆的极坐标方程 0 0 r 0 0 2 r 2rcos r 2rsin 0 r 2rcos 2rsin 2 r 2 一般位置的圆的极坐标方程 若圆心为M 0 0 半径为r 则圆的极坐标方程是 2 2 0 cos 0 02 r2 0 即时应用 1 极坐标方程 4sin 0 0 表示曲线的中心的极坐标为 2 圆心为 2 半径为3的圆的极坐标方程为 解析 1 曲线 4sin 由特殊位置圆的极坐标方程得半径为2 所以曲线中心的极坐标为 2 2 圆心 的直角坐标为 且半径为3 所以圆的直角坐标方程为即由公式得圆的极坐标方程为答案 直角坐标系中的伸缩变换 方法点睛 1 图形的伸缩与坐标轴单位调整的关系设变换前后的坐标系分别为xOy与x O y 1 若x 轴的单位长度为x轴的单位长度的a倍 则x ax a 0 此时若a 1 则图形左右伸长 若0 a 1 则图形左右压缩 2 若y 轴的单位长度为y轴的单位长度的b倍 则y by b 0 此时若b 1 则图形上下伸长 若0 b 1 则图形上下压缩 特别地 若a b 1 则认为图形没有变化 2 图形的伸缩变换的应用应用图形的伸缩变换时 可以将图形特殊化 即将不规则的图形调整为规则的图形 以方便解题 例1 已知以F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点 则椭圆的标准方程为 解题指南 可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程 转化为圆心到直线的距离求解 规范解答 伸缩变换法令则椭圆 a b 0 变换为单位圆x12 y12 1 直线变换为直线因为直线与椭圆有且仅有一个交点 则直线与单位圆x12 y12 1有且仅有一个交点 由题意 得整理得a2 3b2 16 a2 b2 4 解得a2 7 b2 3 所以椭圆的标准方程为答案 互动探究 本题能否用方程根的个数来解决 解析 设椭圆方程为 c 2 a2 b2 4 整理 得 由 0 得 48b4 16a2b2 a4b2 48b4 3a2b4 0 即a4b2 16a2b2 3a2b4 0 a2 3b2 16 与a2 b2 4联立方程组 解得a2 7 b2 3 所以椭圆的标准方程为 反思 感悟 1 巧用换元法 通过伸缩变换将问题进行转化 可简化计算过程 优化解题思路 2 此类问题的常规解法为利用方程思想结合一元二次方程根的判别式求解 变式备选 设椭圆方程的短轴端点分别为A B O为坐标原点 点P在椭圆上 直线PA PB分别交x轴于R Q 如图所示 则OQ OR 解析 由椭圆方程得作伸缩变换于是椭圆在此伸缩变换下化为圆x 2 y 2 b2 设点A B P Q R变换后分别为A B P Q R 如图 由平面几何知识 易证Rt B O Q Rt R O A O Q O R O A O B b2 还原到椭圆中去 则答案 a2 极坐标与直角坐标的互相转化 方法点睛 1 极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提 1 取直角坐标原点为极点 2 x轴的正半轴为极轴 3 规定长度单位相同 2 极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为 x y 它的极坐标为 根据三角函数的定义 当 0时 有 极坐标化为直角坐标公式 直角坐标化为极坐标公式 提醒 当 0时 公式 也成立 因为点M 与点M 关于极点对称 即点M的极坐标也就是 此时 有 例2 1 点的极坐标化为直角坐标为 2 若 0 0 2 点的直角坐标 2 2 化为极坐标为 3 将极坐标方程 sin 化为直角坐标方程的标准形式为 4 将直线方程x y 0化为极坐标方程为 解题指南 由公式将极坐标化为直角坐标 由公式将直角坐标化为极坐标 规范解答 点的极坐标化为直角坐标为答案 2 2 x2 y2 8 且角 的终边过点 2 2 点的直角坐标 2 2 化为极坐标为答案 3 由极坐标方程 sin 得 2 sin 化为直角坐标方程为x2 y2 y 即答案 4 将直线方程x y 0化为极坐标方程为 cos sin 0 即tan 1 答案 互动探究 若把本例 1 中的点的极坐标则它化为直角坐标为 解析 点的极坐标化为直角坐标为答案 反思 感悟 1 在把点P的直角坐标 x y 化为极坐标 求极角 时 应注意判断点P所在的象限 即角 的终边过点 x y 以便正确地求出0 2 内的角 2 过极点的倾斜角为的直线的极坐标方程可以表示为也可以表示为和 变式备选 1 极坐标系中 直角坐标为的点的极径为 极角为 解析 直角坐标为的点到极点的距离为又且点在第二象限 得于是点的极坐标为所以此点的极径为2 极角为答案 2 2 极坐标方程 sin 2cos 所表示的曲线形状是 解析 极坐标方程 sin 2cos 即 2 sin 2 cos 化为直角坐标方程为x2 y2 y 2x 即这是在直角坐标系中 圆心坐标为半径为的圆 答案 圆 极坐标方程的综合题 方法点睛 直线与圆的综合问题 1 直线与圆的位置关系有三种 相离 相切 相交 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则有 2 若直线与圆相交于点A B 则弦长公式为 无 d r 一个 d r 两个 d r 例3 1 在极坐标系中 圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切 则实数a 2 在极坐标系中 已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为 2sin 与 cos 1 0 2 则两曲线 含直线 的公共点P的极坐标为 过点P被曲线C1截得弦长为的直线的极坐标方程为 解题指南 1 将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程 再进行计算 2 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标 利用数形结合思想 转化为几何性质解决 规范解答 1 由圆 2cos 得 2 2 cos 所以圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0的直角坐标方程分别为x2 y2 2x 3x 4y a 0 将圆的方程配方得 x 1 2 y2 1 依题意 得圆心C 1 0 到直线的距离为1 即整理 得 3 a 5 解得a 2或a 8 所以实数a的值为2或 8 答案 2或 8 2 由公式得曲线C1 2sin 与C2 cos 1 0 2 的直角坐标方程分别为x2 y2 2y x 1 联立方程组 解得由公式得点P 1 1 的极坐标为 方法一 由上述可知 曲线C1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 如图所示 过P 1 1 被曲线C1截得弦长为的直线有两条 一条过原点O 倾斜角为直线的普通方程为y x 极坐标方程为另一条过点A 0 2 倾斜角为直线的普通方程为y x 2 极坐标方程为 sin cos 2 即 方法二 由上述可知 曲线C1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 过点被曲线C1截得弦长为的直线有两条 一条过原点O 倾斜角为极坐标方程为另一条倾斜角为极坐标方程为即答案 互动探究 本例 2 中 若曲线C2的极坐标方程改为 cos 0 2 其他条件不变 则两曲线的公共弦长等于 解析 由公式得曲线C1 2sin 与C2 cos 0 2 的直角坐标方程分别为x2 y2 2y x2 y2 x 联立方程 得交点坐标为所以两曲线的公共弦长等于答案 反思 感悟 有关直线与圆的极坐标方程的综合问题 常常转化为直角坐标方程 如果结合几何图形 利用几何法进行判断和计算 有时可使问题简便 变式备选 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为 4cos sin 则经过圆O1 圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为 解析 以极点为原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系 两坐标系中取相同的长度单位 由公式x cos y sin 将 4cos 化为 2 4 cos x2 y2 4x 即x2 y2 4x 0为圆O1的直角坐标方程 同理x2 y2 y 0为圆O2的直角坐标方程 相减 得过交点的直线的直角坐标方程为4x y 0 答案 4x y 0