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第六单元 不等式、推理与证明小题必刷卷(九)不等式与推理证明题组一真题集训1.2014四川卷 若ab0,cdbcB.adbdD.acbd2.2016全国卷 设集合A=x|x2-4x+30,则AB=()A.-3,-32B.-3,32C.1,32D.32,33.2017山东卷 设函数y=4-x2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则AB=()A.(1,2)B.(1,2C.(-2,1)D.-2,1)4.2015福建卷 若变量x,y满足约束条件x+2y0,x-y0,x-2y+20,则z=2x-y的最小值等于()A.-52B.-2C.-32D.25.2017全国卷 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩6.2016山东卷 若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.127.2017全国卷 设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2xb0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+1bb2alog2(a+b)B.b2alog2(a+b)a+1bC.a+1blog2(a+b)b2aD.log2(a+b)a+1b0,则a4+4b4+1ab的最小值为.14.2016全国卷 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.题组二模拟强化15.2017抚州临川一中二模 已知集合A=x|y=2x-x2,集合B=y|y=lg(x2+1),yZ,则AB中元素的个数为()A.1B.2C.3D.416.2017资阳二模 已知0cb1,下列不等式成立的是()A.cacbB.aa-cbb-cC.bacabcD.logaclogbc17.2017武汉武昌区调研 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可以判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁18.2017泉州一模 已知x1,y1,且log2x,14,log2y成等比数列,则xy有()A.最小值2B.最小值2C.最大值2D.最大值219.2018哈尔滨六中模拟 设x,y满足约束条件x-4y-3,3x+5y25,x1,则z=log13(2x+y)的最大值为()A.-1-2log32B.-log37C.-4D.-120.2017孝义三模 如果x,y满足2x-y+10,x-y+10,2x+y+50,则z=x+2y-3x+1的取值范围是()A.-,-853,+)B.-1,17C.-1,03,+D.-,-17,+21.2017山西三区八校二模 为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图X9-1,要求ACB=60,BC的长度大于1,且AC比AB长0.5,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC的长最短为()图X9-1A.1+32B.2C.1+3D.2+322.2017咸阳二模 观察下列式子:122,12+2392,12+23+348,12+23+34+45252.根据以上规律,第n个不等式是.23.2017泉州模拟 若a2+b2=c2(a,b,cN*),我们把a,b,c叫作勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41.以此类推,可猜测第5组勾股数的三个数依次是.图X9-224.2017淮北二模 如图X9-2,在梯形ABCD中,ABCD,对角线AC,BD交于P1,过P1作AB的平行线交BC于点Q1,AQ1交BD于P2,过P2作AB的平行线交BC于点Q2若AB=a,CD=b,则PnQn=.(用a,b,n表示) 小题必刷卷(九)1.B解析 因为cd0,所以1d1c-1c0,与ab0对应相乘得,-ad-bc0,所以ad0得x1,所以B=x|x1.故AB=x|-2x1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=log2t,3y=3log3t=log33t,5z=5log5t=log55t,又t1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较2,33,55的大小即可.因为(2)6=89=(33)6,所以2125=(55)15,所以5525=(55)10,所以552,所以55233,所以3y2x0,b20,ab0,所以a4+4b4+1ab=(a2)2+(2b2)2+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab24=4,当且仅当a2=2b2=22时,等号成立.14.216 000解析 设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,xN,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,xN,yN,目标函数为z=2100x+900y.作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组10x+3y=900,5x+3y=600,得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,zmax=210060+900100=216 000.15.C解析 因为A=x|2x-x20=x|0x2,B=y|y0且yZ,所以AB=0,1,2,故选C.16.D解析 由指数函数y=cx在R上单调递减可得cacb,选项A错误;aa-c-bb-c=cb-aa-cb-c0,aa-c0,abc0,且bacabc=abc-1,ab1,ab1,又0c1,abc-11,bac1,y1,log2x0,log2y0.又log2x,14,log2y成等比数列,116=log2xlog2y.由基本不等式可得log2x+log2y2log2xlog2y=12,当且仅当log2x=log2y=14时取等号,故log2(xy)12,即xy2,故选A.19.D解析 约束条件x-4y-3,3x+5y25,x1表示的可行域如图所示,令t=2x+y,当直线y=-2x+t经过点B(1,1)时,t取得最小值,最小值为21+1=3,此时z=log13(2x+y)取得最大值-1.20.D解析 作出可行域如图所示, z=x+2y-3x+1=1+2y-2x+1.由图可知,y-2x+1-1或y-2x+13,所以z=x+2y-3x+1的取值范围是(-,-17,+),故选D.21.D解析 由题意设BC=x(x1),AC=t(t0),则AB=AC-0.5=t-0.5.在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=x2-0.25x-1(x1),即t=x-1+0.75x-1+2.因为x1,所以t=x-1+0.75x-1+22+3当且仅当x=1+32时取等号,所以t的最小值为2+3,故选D.22.12+23+n(n+1)n+122解析 不等式左边共有n项相加,第n项是n(n+1),不等式右边的数依次是42,92,162,252,(n+1)22.故第n个不等式是12+23+n(n+1)(n+1)22.23.11,60,61解析 由前4组勾股数可得第5组勾股数的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,(x+1)2=112+x2x=60,第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.24.aba+nb解析 由题意得P1Q1CD=BQ1BC,P1Q1AB=CQ1BCP1Q1CD+P1Q1AB=1P1Q1b+P1Q1a=1P1Q1=aba+b,P2Q2P1Q1=BQ2BQ1,P2Q2AB=Q1Q2BQ1P2Q2P1Q1+P2Q2AB=1P2Q2aba+b+P2Q2a=1P2Q2=aba+2b,以此类推,可得PnQn=aba+nb.
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