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第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义，会用定义判断和证明一个数列是否为等差数列.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列：(1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4,4，；(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数梳理一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零知识点二等差中项的概念思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的数分别为3,2,0，.梳理如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A.知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，有a2a12，即a2a12；a3a22，即a3a22a122；a4a32，即a4a32a132.试猜想ana1()2.答案n1梳理若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1(n1)d.此公式可用累加法证明1若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()2任意两个实数都有等差中项()3从通项公式可以看出，若等差数列的公差d0，则该数列为递增数列()4若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定成等差数列()类型一等差数列的判定与证明命题角度1根据前几项判定数列是否为等差数列例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3,2n11,；(2)1,11,23,35,12n13,；(3)1,2,1,2,；(4)1,2,4,6,8,10,；(5)a,a,a,a,a,.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数跟踪训练1下列数列是等差数列的是_(填序号)5,5,5,5,5；3,7,11,15,19；2，1,0,2,4,6.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案命题角度2用定义证明数列是等差数列例2已知数列an的通项公式an2n5.求证an是等差数列考点等差数列的判定题点证明数列是等差数列证明an2n5，an12(n1)5.an1an2(n1)5(2n5)2，nN*，an是公差为2的等差数列反思与感悟为了确保从第二项起，每一项减前一项的差始终是同一个常数当证明项数较多或者无穷的数列为等差数列时，不宜逐项验证，而需证an1and.跟踪训练2在数列an中，an2n，求证lnan为等差数列考点等差数列的判定题点证明数列是等差数列证明lnan1lnanlnlnln2.nN*，lnan是公差为ln2的等差数列类型二等差中项例3在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列考点等差中项题点等差中项及其应用解1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN*)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪训练3若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项考点等差中项题点等差中项及其应用解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得mn6.所以m和n的等差中项为3.类型三等差数列通项公式的求法及应用命题角度1基本量(a1，d，n，an)知其中三个求其余例4在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解由题意可得解得d2，a12.an2(n1)22n.反思与感悟根据通项公式把已知量和未知量之间的关系列为方程求解的思想方法，称为方程思想跟踪训练4(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an5(n1)(4)4n1.由题意，令4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项命题角度2等差数列的实际应用例5某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14km处时，n11，此时a1111.2(111)1.223.2.即需要支付车费23.2元反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素跟踪训练5在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值如果1km高度的气温是8.5，5km高度的气温是17.5，求2km，4km,8km高度的气温考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用an表示自下而上各高度气温组成的数列，由题意可知，数列an为等差数列，设其公差为d.则a18.5，a517.5，由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5，an156.5n.a22，a411，a837，即2km,4km,8km高度的气温分别为2，11，37.1下列数列不是等差数列的是_(填序号)1,1,1,1,1; 4,7,10,13,16；，1，；3，2，1,1,2.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案2已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d_.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案2解析由等差数列的定义，得da2a1112.3已知在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B_.考点等差中项题点等差中项及其应用答案60解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因为ABC180，所以3B180，从而B60.4已知等差数列5，2,1，则该数列的第20项为_考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案52解析公差d2(5)3，a205(201)d519352.5已知等差数列1，1，3，5，89，则它的项数是_考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案46解析d112，设89为第n项，则891(n1)d1(n1)(2)，n46.1判断一个数列是否为等差数列的常用方法：(1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量一、填空题1.1与1的等差中项是_考点等差中项题点等差中项及其应用答案解析设等差中项为a，则有a.2在数列an中，a12,2an12an1，则a101_.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案52解析因为2an12an1，a12，所以数列an是首项a12，公差d的等差数列，所以a101a1100d210052.3若ab，则等差数列a，x1，x2，b的公差是_考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案解析由等差数列的通项公式，得ba(41)d，所以d.4已知在等差数列an中，a3a822，a67，则a5_.考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案15解析设an的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a147，d8.所以a547(51)(8)15.5等差数列20,17,14,11，中第一个负数项是第_项考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案8解析a120，d3，an20(n1)(3)233n，a720，a810.6若5，x，y，z,21成等差数列，则xyz_.考点等差中项题点等差中项及其应用答案39解析5，x，y，z,21成等差数列，y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.7一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则_.考点等差中项题点等差中项及其应用答案解析b是x,2x的等差中项，b，又x是a，b的等差中项，2xab，a，.8已知在等差数列an中，a7a916，a41，则a12_.考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案15解析由得a12a111d1115.9若一个等差数列的前三项为a,2a1,3a，则这个数列的通项公式为_考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案an1，nN*解析a(3a)2(2a1)，a.这个等差数列的前三项依次为，d，an(n1)1，nN*.10现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案解析设此等差数列为an，公差为d，则解得a5a14d4.11在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an10的n_.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案22解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令即21n22.又nN*，n22.二、解答题12在数列an中，a11，an12an2n，设bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用(1)证明由已知an12an2n，得bn11bn1.又b1a11，因此bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)解由(1)知数列bn的通项公式为bnn，又bn，所以数列an的通项公式为ann2n1.13已知等差数列an：3,7,11,15，.(1)135,4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用解由题可知，a13，d4，则ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，n34，135是数列an的第34项令an4n14m19，则nm5N*，4m19是数列an的第m5项(2)ap，aq是数列an中的项，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，其中2p3q1N*，2ap3aq是数列an的第2p3q1项三、探究与拓展14已知在数列an中，a11，an1ananan1(n2，nN*)，则a10_.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案解析易知an0，数列an满足an1ananan1(n2)，1(n2)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，1910，a10.15已知数列an满足：a110，a25，anan22(nN*)，求数列an的通项公式考点等差数列的通项公式题点求通项公式解由anan22知，an的奇数项，偶数项分别构成公差为2的等差数列当n2k1时，2kn1，a2k1a1(k1)(2)122k，an12(n1)11n(n为奇数)当n2k时，a2ka2(k1)(2)52k272k.an7n(n为偶数)an
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