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第55练 向量法求解空间角和距离问题基础保分练1平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量,两两的夹角均为60,且|1,|2,|3,则|等于()A5B6C4D82在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为()A.B.CD3在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n(2,2,1),已知点P(1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A4B2C3D14方向向量为s(1,1,1)的直线l经过点A(1,0,0),则坐标原点O(0,0,0)到该直线的距离是()A.B.C.D.5平面的一个法向量为n(1,0),则y轴与平面所成的角的大小为()A.B.C.D.6.如图所示,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为()A.B.C.D.7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a8P是二面角AB棱上的一点,分别在,平面上引射线PM,PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么二面角AB的大小为()A60B70C80D909三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,长度分别为6,4,4,则其顶点到底面的距离为_10.如图所示,已知空间四边形OABC中OBOC,且AOBAOC,则cos,的值为_能力提升练1已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.2已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE与SD所成的角的余弦值为()A.B.C.D.3已知空间向量a,b满足|a|b|1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足2ab,3ab,则OAB的面积为()A.B.C.D.4过正方形ABCD的顶点A,引PA平面ABCD.若PABA,则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是()A30B45C60D905已知AOB90,过O点引AOB所在平面的斜线OC,与OA,OB分别成45,60角,则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值为_6.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是_答案精析基础保分练1A2.B3.B4.D5.B6.C7A以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),因为点M在AC1上,且,则(xa,y,z)(x,ay,az),得xa,y,z,即M,所以|a,故选A.8D不妨设PMa,PNb,作MEAB于E,NFAB于F.EPMFPN45,PEa,PFb,()()abcos60abcos45abcos45ab0,二面角AB的大小为90.9.解析设三棱锥为PABC,且PA6,PBPC4,以P为原点建立空间直角坐标系如图,则P(0,0,0),A(6,0,0),B(0,4,0),C(0,0,4),(6,0,0),(6,4,0),(6,0,4),设平面ABC的一个法向量为n(x,y,z),则n,n,所以即yzx,所以可选平面ABC的一个法向量为n(2,3,3),所以P到平面ABC的距离d|cos,n|.100解析设a,b,c,则|b|c|,a,ba,c,cb,a(cb)acab|a|c|cos|a|b|cos0,cos,0.能力提升练1B设A1在底面ABC内的射影为O,过O作OHBC交AB于点H,以O为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设ABC的边长为1,则A,B1,平面ABC的法向量n(0,0,1),则AB1与底面ABC所成角的正弦值sin|cos,n|.2C3B|,同理|,则cosAOB,从而有sinAOB,OAB的面积S,故选B.4B建立如图所示的空间直角坐标系,设AB1,易得平面APB的一个法向量为n1(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求二面角的大小是45.56.
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