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考点规范练21解三角形应用举例基础巩固组1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离为()A.6 kmB.2 kmC.3 kmD.2 km答案A解析如图,在ABC中,由已知可得ACB=45,ACsin60=2sin45,AC=2232=6(km).2.在地平面上有一旗杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,测得其长为20 m,在A处测得点P的仰角为30,在B处测得点P的仰角为45,又测得AOB=30,则旗杆的高h等于()A.10 mB.20 mC.103 mD.203 m答案B解析由题意得PAO=30,PBO=45,AO=3h,BO=h,所以AB2=202=(3h)2+h2-23hhcos30,因此h2=400,h=20.故选B.3.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75,距离为126海里,灯塔C在A的北偏西30,距离为123海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向,则此时灯塔C位于游轮的()A.正西方向B.南偏西75方向C.南偏西60方向D.南偏西45方向答案C解析如图,在ABD中,B=45,由正弦定理有ADsin45=ABsin60=12632=242,AD=24.在ACD中,由余弦定理有CD2=AC2+AD2-2ACADcos30,因为AC=123,AD=24,所以CD=12,由正弦定理有CDsin30=ACsinCDA,sinCDA=32,故CDA=60或120.因ADCD,故CDA为锐角,所以CDA=60,故选C.4.某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方点A的距离,他站在地面C处,利用皮尺量得BC=9 m,利用测角仪测得仰角ACB=45,测得仰角BCD后通过计算得到sinACD=2626,则AD的距离为()A.2 mB.2.5 mC.3 mD.4 m答案C解析设AD=xm,则BD=(9-x)m,CD=92+(9-x)2m.在ACD中应用正弦定理得CDsinDAC=ADsinACD,即92+(9-x)222=x2626,则292+(9-x)2=26x2,整理,得2x2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,解得x=3(m).5.如图,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120,甲、乙两地相距500 m,则电视塔的高度是()A.1002 mB.400 mC.2003 mD.500 m答案D解析设塔高为xm,则由已知可得BC=xm,BD=3xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,即3x2=x2+5002+500x,解得x=500(m).6.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30,60,则塔高为m.答案4003解析如图,由已知可得BAC=30,CAD=30,BCA=60,ACD=30,ADC=120.又AB=200m,AC=40033m.在ACD中,由余弦定理得,AC2=2CD2-2CD2cos120=3CD2,CD=13AC=4003m.7.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan =.答案2315解析在ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos=516,则sin=23116,所以tan=sincos=2315.8.海岛B上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A,上午11时测得一游船位于岛北偏东15方向上,且俯角为30的C处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75方向上,且俯角45的D处.(假设游船匀速行驶)则CD的长;又经过一段时间后,游船到达海岛B的正西方向E处,此时游船距离海岛B米.答案2056解析(1)在RtABC中,BAC=60,AB=10米,则BC=103米.在RtABD中,BAD=45,AB=10米,则BD=10米.在RtBCD中,DBC=75+15=90,则CD=BD2+BC2=20(米).(2)在RtBCD中,BCD=30,又因为DBE=15,所以CBE=105,所以CEB=45.在BCE中,由正弦定理可知EBsin30=BCsin45,所以EB=BCsin30sin45=56(米).能力提升组9.在某个位置测得某山峰仰角为,对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2,继续在水平地面上前进3003 m后,测得山峰的仰角为4,则该山峰的高度为()A.300 mB.450 mC.3003 mD.600 m答案B解析如图所示,易知,在ADE中,DAE=2,ADE=180-4,AD=3003m,由正弦定理,得900sin4=3003sin2,解得cos2=32,则sin2=12,sin4=32,因此在RtABC中山峰的高度h=3003sin4=300332=450(m).10.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为()A.8 km/hB.62 km/hC.234 km/hD.10 km/h答案B解析设AB与河岸线所成的角为,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sin=0.61=35,从而cos=45,所以由余弦定理得110v2=11022+12-21102145,解得v=62.11.某人在汽车站M的北偏西20的方向上的A处(如图所示),观察到C处有一辆汽车沿公路向M站行驶,公路的走向是M站的北偏东40.开始时,汽车到A处的距离为31 km,汽车前进20 km后,到A处的距离缩短了10 km.问汽车还需行驶()km,才能到达汽车站M?A.5 kmB.10 kmC.15 kmD.20 km答案C解析设汽车前进20km后到达B处,在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=2331,则sinC=12331.所以sinMAC=sin(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=35362.在MAC中,由正弦定理,得MC=ACsinMACsinAMC=313536232=35,从而有MB=MC-BC=15(km).12.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()A.1+32米B.2+32米C.1+3米D.2+3米答案D解析由题意设BC=x(x1)米,AC=t(t0)米,依题设AB=AC-0.5=t-0.5米,在ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=x2-0.25x-1(x1),即t=x-1+0.75x-1+2,因x1,故t=x-1+0.75x-1+22+3当且仅当x=1+32时取等号,此时取最小值2+3,应选答案D.13.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(3+1) mB.180(2-1) mC.120(3-1) mD.30(3+1) m答案C解析如图,ACD=30,ABD=75,AD=60m,在RtACD中,CD=ADtanACD=60tan30=603(m),在RtABD中,BD=ADtanABD=60tan75=602+3=60(2-3)(m),BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)(m).14.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案150解析根据图示,AC=1002m.在MAC中,CMA=180-75-60=45.由正弦定理得ACsin45=AMsin60AM=1003m.在AMN中,MNAM=sin60,MN=100332=150m.15.如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从点A出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象,然后向右转105,行进10 m 到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135回到出发点,那么x=.答案1063解析由题图知,AB=x,ABC=180-105=75,BCA=180-135=45.BC=10,BAC=180-75-45=60,xsin45=10sin60,x=10sin45sin60=1063.16.如图一块长方形区域ABCD,AD=2,AB=1,在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯,其照射角EOF始终为4,设AOE=034,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.(1)当02时,求S关于的函数关系式;(2)当04时,求S的最大值;(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用的时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且AOG=6,求点G在“一个来回”中被照到的时间.解(1)当04时,E在AB上,F在BC上,S=1-12tan-12tan4-,当42时,E,F都在BC上,S=121tan+1tan34-.(2)当04时,S=2-121+tan+21+tan,由于tan0,1,所以当tan=2-1时,Smax=2-2.(3)在“一个来回”中,OE共转动了234=32,其中点G被照到时,OE共转动了26=3,点G被照到的时间为t=9332=2(分钟).17.如图,已知扇形OPQ的半径为1,圆心角为3,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记COP=.(1)当AB=3BC时,求tan 2的值;(2)记矩形ABCD的面积为f(),求f()最大值,并求此时的值.解(1)tan3=ADOA=BCOA=3,OA=33BC,又tan=BCOB=BC33BC+3BC=34,所以tan2=2tan1-tan2=8313.(2)在RtOBC中,OB=cos,BC=sin,在RtOAD中,DAOA=tan60=3,OA=33DA=33BC=33sin,AB=OB-OA=cos-33sin.设矩形ABCD的面积为S,则S=ABBC=sincos-sin3=sincos-13sin2=12sin2-123(1-cos2)=12sin2+36cos2-36=13sin2+6-36.由于03,当2+66,56,当2+6=2,即=6时,S最大=13-36=36.因此f()max=36.
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