2011届高三数学数列的概念与通项公式.ppt

必修5 第二章数列 第32讲 数列的概念与通项公式 知识体系 1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公式 2 了解数列是自变量为正整数的一类函数 3 会用观察法 递推法等求数列的通项公式 1 以下关于数列的叙述 数列是以正整数集为定义域的函数 数列都有通项 且是惟一的 数列只能用通项公式的方法来表示 既不是递增也不是递减的数列 则为常数列 数列1 1 2 3 5 8与数列8 5 3 2 1 1是同一数列 对所有的n N 都有an 3 an 则数列 an 是以3为周期的周期数列 其中正确的结论有 B A 0个B 1个C 3个D 5个 本题是考查数列及相关概念的题 在解题过程中 每一个叙述都有可能判断错误 故需一一给予剖析 命题 数列可以看作是一个定义域为正整数集N 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 命题 不是每一个数列都有通项 有的数列不存在通项 另外 有通项公式的数列 通项公式也不一定惟一 命题 数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示 命题 数列存在递增数列 递减数列 常数数列 还有摆动数列 命题 数列是有序的 正确 2 数列 1 7 13 19 的一个通项公式是an 1 n 6n 5 符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 3 如果数列 an 的前n项的和Sn n2 那么这个数列的通项公式是 an 2n 1 a1 S1 1 所以a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 经检验 a1符合上式 所以an 2n 1 4 在数列 an 中 若an 1 a1 1 则a6 因为an 1 a2 a3 a4 a5 a6 5 已知数列 an n N 满足an 1 an t an t t 2 an an2 若an k an k N 则实数k的最小值是 4 因为tt a4 a3 t t 2 a1 t a5 t 2 a4 a1 所以最小正周期为4 故k的最小值为4 1 数列的概念 1 数列是按一定 排列的一列数 记作a1 a2 a3 an 简记 an 2 数列 an 的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an f n 给出 则这个公式叫做这个数列的 顺序 通项公式 3 数列可以看做定义域为N 或其子集 的函数 当自变量由小到大依次取值时 对应的一列函数值 它的图象是一群 2 数列的表示方法数列的表示方法有 列举法 图示法 解析法 用通项公式表示 和递推法 用递推关系表示 孤立的点 3 数列分类 1 按照数列的项数分 2 按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分 3 从函数单调性角度考虑分 递增数列 常数列 4 数列通项an与前n项和Sn的关系 1 Sn a1 a2 a3 an 2 an 有穷数列 无穷数列 有界数列 无界数列 递减数列 摆动数列 S1 n 1 Sn Sn 1 n 2 题型一观察法写数列的通项公式 例1 求下列数列的一个通项公式 1 1 1 1 1 2 3 5 9 17 33 3 2 8 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 an 1 n 1或an cos n 1 2 an 2n 1 3 an 4 an sin 已知数列的前n项 写出数列的通项公式 主要从以下几个方面来考虑 1 符号用 1 n与 1 n 1 或 1 n 1 来调节 这是因为n和n 1奇偶交错 2 分式形式的数列 分子找通项 分母找通项 要充分借助分子 分母的关系 3 对于比较复杂的通项公式 要借助等差数列 等比数列 后面将学到 和其他方法来解决 4 此类问题虽无固定模式 但也有其规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 题型二利用数列前n项和公式求通项 例2 已知数列 an 的前n项和为Sn 分别求其通项公式 1 Sn 3n 2 2 Sn an 2 2 an 0 1 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 3n 2 3n 1 2 2 3n 1 由于a1 1不适合上式 因此数列 an 的通项公式为1 n 1 2 3n 1 n N 且n 2 an 2 当n 1时 a1 S1 a1 2 2 解得a1 2 当n 2时 Sn Sn Sn 1 an 2 2 an 1 2 2 所以 an 2 2 an 1 2 2 0 所以 an an 1 an an 1 4 0 又an 0 所以an an 1 4 可知 an 为等差数列 公差为4 所以an a1 n 1 d 2 n 1 4 4n 2 a1 2也适合上式 故an 4n 2 S1 n 1 Sn Sn 1 n 2 求数列的通项 特别要注意验证a1的值是否满足 n 2 的通项公式 同时认清 an 1 an d 常数 n 2 与 an an 1 d d为常数 n 2 的细微差别 本例的关键是应用an 题型三利用递推公式求数列的通项 例3 根据下列条件 写出数列的通项公式 1 a1 2 an 1 an n 2 a1 1 an 1 2n 1an 1 将递推关系写成n 1个等式累加 即 累加法 2 将递推关系写成n 1个等式相乘 即 累积法 或用逐项迭代法 1 方法一 an 1 an n 所以a2 a1 1 a3 a2 2 a4 a3 3 an an 1 n 1 所以a2 a3 an a1 a2 an 1 1 2 3 n 1 所以an 2 方法二 因为an 1 an n 所以an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 n 1 n 2 1 2 2 2 方法一 因为an 所a2 a3 a4 an 相乘得a2 a3 an an 方法二 因为 所以an a1 1 已知数列的递推关系 求数列的通项公式的方法大致分为两类 一是根据前几项的特点归纳猜想出an的通项公式 然后用数学归纳法证明 二是将已知递推关系整理 变形为可用 累加法 累乘法 或新的等差数列 等比数列等 再求其通项 数列通项公式的求法 观察分析法 S1 n 1 Sn Sn 1 n 转化成等差 等比数列 迭加 累乘法 见第34讲 公式法 an 课后再做好复习巩固 谢谢 再见