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第1课时分类加法计数原理基础达标(水平一)1.已知集合A1,2,3,且A中至少有一个奇数,则这样的集合A有().A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】满足题意的集合A分两类:第一类,有一个奇数,有1,3,1,2,2,3共4个;第二类,有两个奇数,有1,3.所以共有4+1=5个.【答案】D2.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有().A.4种B.5种C.6种D.12种【解析】若甲先传给乙,则有甲乙甲乙甲,甲乙甲丙甲,甲乙丙乙甲,共3种不同的传法;同理,甲先传给丙也有3种不同的传法,故共有6种不同的传法.【答案】C3.若a,b是不等式x2-16x20的整数解,则与直线l:x-y+1=0平行的直线m:ax+by+1=0共有().A.2条B.4条C.6条D.7条【解析】由x2-16x20,可得-4x4且x0.因为a,b是不等式x2-16x20的整数解,所以a,b可以取-4,-3,-2,-1,1,2,3,4.若直线l与直线m平行,则a=-b1,根据分类加法计数原理,共有7条直线m满足条件,选D.【答案】D4.已知两条异面直线a、b上分别有7、8个点,则这15个点可以确定不同的平面的个数为().A.10B.14C.15D.56【解析】直线a上的7个点,每个点都能与直线b确定1个平面,故这7个点与直线b可以确定7个平面.因为a,b是异面直线,所以这7个平面是不同的平面.同理,直线b上的8个点与直线a可以确定8个不同的平面.故这15个点可以确定7+8=15个不同的平面.【答案】C5.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为.【解析】以1为首项的等比数列为1,2,4和1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9,共4个.把这四个数列顺序颠倒,又得到4个新数列,故所求等比数列有8个.【答案】86.如图,电路中共有3个电阻与1个灯泡,若灯泡不亮,则因电阻断路的情况共有种.【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态,灯泡不亮可以分三种情况讨论:1个电阻断路,此时只有1种情况;2个电阻断路,此时有3种情况;3个电阻断路,此时只有1种情况.根据分类加法计数原理,灯泡因电阻断路不亮的所有情况共有1+3+1=5种.【答案】57.若x,yN*,且x+y6,试求有序自然数对(x,y)的个数.【解析】按x的取值进行分类:x=1时,y=1,2,3,4,5,共构成5个有序自然数对;x=2时,y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对;x=3时,y=1,2,3,共构成3个有序自然数对;x=4时,y=1,2,共构成2个有序自然数对;x=5时,y=1,共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理,有序自然数对共有5+4+3+2+1=15个.拓展提升(水平二)8.已知方程ay=b2x2+c中的a,b,c-2,0,1,2,3,且a,b,c互不相等,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有().A.28条B.32条C.36条D.48条【解析】由方程ay=b2x2+c变形得x2=ab2y-cb2,若表示抛物线,则a0,b0,所以分b=-2,1,2,3四种情况:当b=-2时,a=1,c=0或c=2或c=3,a=2,c=0或c=1或c=3,a=3,c=0或c=1或c=2.当b=2时,a=-2,c=0或c=1或c=3,a=1,c=-2,或c=0或c=3,a=3,c=-2或c=0或c=1.以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条.同理,当b=1时,共有9条;当b=3时,共有9条.综上,共有14+9+9=32条.【答案】B9.若集合A1,A2满足A1A2=A,则记A1,A2是A的一组双子集拆分,规定:A1,A2和A2,A1是A的同一组双子集拆分,已知集合A=1,2,则A的不同双子集拆分共有().A.8组B.7组C.5组D.4组【解析】根据题意,集合A=1,2,其子集是,1,2,1,2,设集合A1,A2满足A1A2=A,若A1=,则A2=1,2,有1种情况;若A1=1,则A2=1,2或2,有2种情况;若A1=2,则A2=1,2或1,有2种情况,但有1种情况是重复的;若A1=1,2,则A2=1,2或1或2或,有4种情况,但有3种情况是重复的.故共有1+2+1+1=5组.【答案】C10.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点B向结点A传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为.【解析】依题意,首先找出B到A的路线,一共有4条,分别是BCDA,信息量最大为3;BEDA,信息量最大为4;BFGA,信息量最大为6;BHGA,信息量最大为6.由分类加法计数原理,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.【答案】1911.已知ABC三边a,b,c的长都是整数,且abc,如果b=25,求符合条件的三角形的个数.【解析】根据题意,a可取的值为1,2,3,25,根据三角形的三边关系,有25c25+a,当a=1时,有25c26,即c=25,有1种情况;当a=2时,有25c27,即c=25,26,有2种情况;当a=3时,有25c28,即c=25,26,27,有3种情况;当a=4时,有25c29,即c=25,26,27,28,有4种情况;当a=25时,有25c50,即c=25,26,27,28,49,有25种情况.故符合条件的三角形个数为1+2+3+4+25=25(1+25)2=325.
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