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高考达标检测（四十六） 古典概型命题2类型简单问题、交汇问题一、选择题1(2017天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C. D.解析：选C从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P.2先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为()A. B.C. D.解析：选C骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x，y)，共有6636个，记两次点数之积为奇数的事件为A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5) 共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P(A).3高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A，B入住同一标间的概率为()A. B.C. D.解析：选B记A，B入住同一标间的概率为P，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有A90种不同的方法，A，B入住同一标间有CA18种不同的方法，P.4(2018泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A. B.C. D.解析：选C由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个所以共有4624个当b1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b2时，有324,423，共2个“凹数”所以这个三位数为“凹数”的概率P.5高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为()A. B.C. D.解析：选D高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n2416，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P1.6a，b，c，d，e是从集合1,2,3,4,5中任取的5个元素(不允许重复)，则abcde为奇数的概率为()A. B.C. D.解析：选C由题意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abcde为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组，所以abcde为奇数的概率P.7抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a，b，则|ba2|6a成立的概率为()A. B.C. D.解析：选C由题意知(a，b)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“|ba2|0，即ab.又(a，b)的取法共有9种，其中满足ab的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P.二、填空题9若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_解析：由任何三点不共线，则共有C56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4624个，所以构成直角三角形的概率P.答案：10从1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a，则使曲线y的图象在第一、三象限，且满足不等式组无解的概率为_解析：曲线y的图象在第一、三象限，且满足不等式组无解，即73a0且a3，所以a，所以a可取1,0,1，由古典概型的概率公式，得P.答案：11从1(其中m，n1,2,3)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为_解析：当方程1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m0，n0，所以方程1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，1)，(3， 1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(1，1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，m0，n0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P.答案：12设集合A0,1,2，B0,1,2，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线xyn上”为事件Cn(0n4，nN)，若事件Cn的概率最大，则n的值为_解析：由题意知，点P的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种当n0时，落在直线xy0上的点的坐标为(0,0)，共1种；当n1时，落在直线xy1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种；当n2时，落在直线xy2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种；当n3时，落在直线xy3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种；当n4时，落在直线xy4上的点的坐标为(2,2)，共1种因此，当Cn的概率最大时，n2.答案：2三、解答题13有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字已知b和c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f(x)x2bxc(xR)(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，函数yf(x)有零点的概率；(2)求函数yf(x)在区间(3，)上是增函数的概率解：(1)记“函数f(x)x2bxc(xR)有零点”为事件A，由题意知，b3，c1,2,3,4,5,6，所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6个当函数f(x)x2bxc(xR)有零点时，方程x2bxc0有实数根，即b24c0，c，c1或2，即事件A包含2个基本事件，函数f(x)x2bxc(xR)有零点的概率P(A).(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(6,5)，(6,6)，共36个记“函数yf(x)在区间(3，)上是增函数”为事件B.yf(x)的图象开口向上，要想使函数yf(x)在区间(3，)上是增函数，只需3即可，解得b6，b6.事件B包含的基本事件有6个函数yf(x)在区间(3，)上是增函数的概率P(B).14学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A，B，C三个等级，其统计结果如下表： 语言表达能力文字组织能力 ABCA220B1a1C01b由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为C的学生的概率为.(1)求a，b的值；(2)从测试成绩均为A或B的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为C的学生共有(b2)人，所以，ab3，解得b1，a2.(2)测试成绩均为A或B的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为B的有2人，设为b1，b2，其余5人设为a1，a2，a3，a4，a5.则基本事件空间(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)所以基本事件空间总数为21.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有(b1，b2)所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率P1.1若xA的同时，还有A，则称A是“好搭档集合”，在集合B的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为()A. B.C. D.解析：选A由题意可得，集合B的非空子集有25131个，其中是“好搭档集合”的有：1，共7个，所以该集合是“好搭档集合”的概率为P.2“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克)(3,5(5,8(8,1212以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器(共2 000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14中，按照(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,14均匀分组，其中累积净化量在(4,6的所有数据有：4.5,4.6,5.1,5.2,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率解：(1)在(4,6之间的数据一共有6个，再由频布直方图得，落在(4,6之间的频率为0.0320.06，n100.由频率分布直方图的性质得：(0.03x0.120.140.15)21，解得x0.06.(2)由频率分布直方图可知，落在(6,8之间共0.12210024台，又在(5,6之间共4台，落在(5,8之间共28台，估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有2 000560台(3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在(4,6之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从(4,6中随机抽取2台，基本事件总数nC15，事件B包含的基本事件个数mCC8，恰好有1台等级为P2的概率P(B).
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