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第六节指数与指数函数课时作业练1.函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m=.答案2或-12.已知函数f(x)=1(a-2)3x+1的定义域为R,则实数a的取值范围是.答案a2解析因为函数f(x)=1(a-2)3x+1的定义域为R,所以(a-2)3x+10对xR恒成立,即2-a=13x无解,所以2-a0,解得a2.3.函数f(x)=2ax+1-1(a0,且a1)的图象恒过定点.答案(-1,1)4.(2018江苏海安高级中学高三测试)已知函数f(x)=ax,a(0,1),若实数m,n满足f(m)f(n),则m,n的大小关系为.(用“”连接)答案mn5.已知函数f(x)=ax,x0,(a-2)x+3a,x0对任意的x1x2,都有 f(x1)-f(x2)x1-x20成立,则实数a的取值范围是.答案0,13解析由题意可得函数f(x)在R上单调递减,则0a1,a-20,a03a,解得01,f(-x),x1,若函数y=g(x)-t有且只有一个零点,则实数t的取值范围是.答案-32,32解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以-f(x)=f(-x),则有m=-1,所以f(x)=2x-12x,作出f(x)的大致图象,如图1,再由图象变换可以得到g(x)的大致图象,如图2.所以当x1时,g(x)32,+;当x1时,g(x)-32,+.“函数y=g(x)-t有且只有一个零点”等价于“函数y1=g(x)与函数y2=t的图象只有一个交点”,数形结合可以得到t-32,32.图1图210.(2018江苏苏州中学高三检测)已知函数f(x)=a+14x+1的图象过点1,-310.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若-16f(x)0,求实数x的取值范围.解析(1)f(x)为奇函数.理由如下:因为f(x)的图象过点1,-310,所以a+15=-310,解得a=-12,所以f(x)=14x+1-12=1-4x2(4x+1), f(x)的定义域为R.因为f(-x)=14-x+1-12=4x4x+1-12=4x-12(4x+1)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)因为-16f(x)0,所以-1614x+1-120,所以1314x+112,所以24x+13,所以14x2,解得0x12,即x的取值范围是0,12.11.(2019江苏宿迁高三模拟)已知函数f(x)=a4x-a2x+1+1-b(a0)在区间1,2上有最大值9和最小值1.(1)求a,b的值; (2)若不等式f(x)-k4x0在x-1,1上有解,求实数k的取值范围.解析(1)令t=2x,t2,4,则y=at2-2at+1-b,t2,4, 其图象的对称轴为t=1,a0,t=2时,ymin=4a-4a+1-b=1, t=4时,ymax=16a-8a+1-b=9, 解得a=1,b=0.(2)由(1)知4x-22x+1-k4x0在x-1,1上有解.设2x=n,x-1,1,n12,2,则n2-2n+1-kn20在n12,2上有解,kn2-2n+1n2max=1-2n+1n2max,n12,2,令1n=m,则m12,2,则k(m2-2m+1)max=1,故实数k的取值范围是(-,1.12.已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,a0,且a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式1ax+1bx-m0在x(-,1上恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以ba=6,ba3=24,解得a2=4,又a0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=32x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x(-,1时,12x+13x-m0恒成立,即m12x+13x在x(-,1上恒成立.因为y=12x与y=13x均为减函数,所以y=12x+13x也是减函数,所以当x=1时,y=12x+13x取得最小值,且最小值为56.所以m56,即m的取值范围是-,56.13.设函数f(x)=kax-a-x(a0且a1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)0,试求不等式f(x2+2x)+ f(x-4)0的解集;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在1,+)上的最小值.解析f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,即k-1=0,k=1.f(x)=ax-a-x.(1)f(1)0,a-1a0.又a0且a1,a1.y=ax和y=-a-x在R上均为增函数,f(x)在R上为增函数,由题意知原不等式可化为f(x2+2x) f(4-x),x2+2x4-x,即x2+3x-40,解得x1或x1或x1,则AB= .答案-2解析集合B=x|x1,由交集定义可得AB=-2.2.函数f(x)=1-2log6x的定义域为.答案(0,6解析要使函数f(x)有意义,则有1-2log6x0,x0,解得0x6,所以函数的定义域为(0,6.3.(2019江苏泰州高三模拟)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aR).若f (g(1)=1,则a=.答案1解析由已知条件可知, g(1)=a-1,f(a-1)=5|a-1|=1,|a-1|=0,解得a=1.4.函数y=|x|(1-x)的单调增区间是.答案0,12解析y=|x|(1-x)=-x2+x,x0,x2-x,x0,作出其图象如下,由图象可知该函数的单调增区间是0,12.5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=x2+x,则关于x的不等式f(x)0,x2+x,x0,所以f(x)0,-x2+x-2或x0,x2+x2,所以不等式f(x)0,ex-34,x0, 则函数f(x)的值域为.答案-34,13解析当x0时, f(x)=xx2+x+1=1x+1x+10,13;当x0时, f(x)=ex-34-34,14,所以函数f(x)的值域为-34,13.7.(2018江苏泰兴中学上学期月考)已知M=(x,y)|y=x2+2x+5,N=(x,y)|y=ax+1.(1)若MN有两个元素,求实数a的取值范围;(2)若MN至多有一个元素,求实数a的取值范围.解析(1)由MN有两个元素得方程组y=x2+2x+5,y=ax+1有两组解,即一元二次方程x2+(2-a)x+4=0有两个不相等的实数根,所以=(2-a)2-160,解得a6.(2)由MN至多有一个元素得方程组y=x2+2x+5,y=ax+1无解或只有一组解,即一元二次方程x2+(2-a)x+4=0无实数根或有两个相等的实数根,所以=(2-a)2-160,解得-2a6.
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