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第19讲数列中的推理与证明1.(2018扬州高三考前调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S13=6,则3a9-2a10=.2.(2018江苏苏州张家港月考)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,则数列an的通项公式为an=.3.(2018年江苏联考)若在x,y两数之间插入3个数,使这五个数成等差数列,其公差为d1(d10),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d20),那么d1d2=.4.(2017徐州王杰中学高三月考)设正项等比数列an的首项a1=2,前n项和为Sn,且满足2a3+S2=4,则满足6665S2nSn1615的最大正整数n的值为.5.(2018江苏扬州期末)若等差数列an的前n项和为Sn,a2=3,a3+a5=-2,则使得Sn取最大值时的正整数n=.6.(2018江苏苏州模拟)已知数列an中,a1=1,且an+1=an+2n+1,设数列bn满足bn=an-1,对任意正整数n(n2),不等式1b2+1b3+1bn0,q=12,由题意有66652(1-q2n)1-q2(1-qn)1-q1615,66651+12n1615,16512n115,满足题意的最大正整数n的值为6.5.答案3解析设等差数列an的公差为d,则a3+a5=3+d+3+3d=4d+6=-2,d=-2,则an=a2+(n-2)(-2)=-2n+7,前3项是正数项,从第4项开始是负数项,所以使得Sn取最大值时的正整数n=3.6.答案m34解析an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=1+3+5+(2n-1)=n2,bn=n2-1,则1bn=1n2-1=121n-1-1n+1,则1b2+1bn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1=121+12-1n-1n+1=1232-1n-1n+134,则m34.7.解析(1)因为Sn+1=3Sn+1(nN*),所以Sn=3Sn-1+1(nN*,n2),所以an+1=3an(nN*,n2).又当n=1时,由S2=3S1+1及a1=1得a2=3,符合a2=3a1,所以an+1=3an(nN*),所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1(nN*).(2)因为bn+1-bn=an+1an=3(nN*),所以bn是以3为首项,3为公差的等差数列,所以bn=3+3(n-1)=3n(nN*).则an+bnn2,即n2-3n3n-1对nN*有解.设f(n)=n2-3n3n-1(nN*).因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-3(n+1)3n-n2-3n3n-1=-2(n2-4n+1)3n,所以当n4时,f(n+1)f(n).当nf(n),所以f(1)f(2)f(3)f(5)f(6),所以f(n)max=f(4)=427,所以427.
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