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中档题专练(五)1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tanB的值.2.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点.(1)若平面ABC平面BCC1B1,求证:ADDC1;(2)求证:A1B平面ADC1.3.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)如图,在某商业区周边有两条公路l1和l2,在点O处交汇,该商业区是圆心角为3、半径为3km的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB,与l1、l2分别交于A、B,要求AB与扇形的弧相切,切点T不在l1、l2上.(1)设OA=akm,OB=bkm,试用a,b表示新建公路AB的长度,求出a,b满足的关系式,并写出a,b的取值范围;(2)设AOT=,试用表示新建公路AB的长度,并且确定A、B的位置,使得新建公路AB的长度最短.4.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c3),其导函数y=h(x)的图象如图,设f(x)=6lnx+h(x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2)处的切线的斜率;(2)若函数f(x)在区间1,m+12上是单调函数,求实数m的取值范围;(3)若函数y=-x,x(0,6)的图象总是在函数y=f(x)图象的上方,求c的取值范围.答案精解精析1.证明(1)根据正弦定理asinA=bsinB=csinC,且cosAa+cosBb=sinCc,所以cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,故sinAsinB=cosAsinB+cosBsinA=sin(A+B),又因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sinC,得证.(2)因为b2+c2-a2=65bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=65bc2bc=35,因为A为三角形内角,所以sinA=1-cos2A=1-352=45,由(1)知,45sinB=35sinB+45cosB,即15sinB=45cosB,故tanB=sinBcosB=4.2.证明(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC.因为平面ABC平面BCC1B1,平面ABC平面BCC1B1=BC,AD平面ABC,所以AD平面BCC1B1.因为DC1平面BCC1B1,所以ADDC1.(2)连接A1C,交AC1于点O,连接OD,易知O为A1C的中点.因为D为BC的中点,所以ODA1B.因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1,所以A1B平面ADC1.3.解析(1)在AOB中,OA=akm,OB=bkm,AOB=3,由余弦定理得,AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB=a2+b2-2abcos3=a2+b2-ab,则AB=a2+b2-ab.以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(a,0),B12b,32b,所以直线AB的方程为y=3b212b-a(x-a),即3bx+(2a-b)y-3ab=0,因为AB与扇形的弧相切,所以|3ab|3b2+(2a-b)2=3,则所求关系式为a2+b2=112a2b2+ab,a,b(3,6).(2)因为AB是圆O的切线,所以OTAB.在RtOTA中,AT=3tan,在RtOTB中,BT=3tan3-,所以AB=AT+TB=3tan+3tan3-00,列表如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+),f(x)的单调递减区间为(1,3).要使函数f(x)在区间1,m+12上是单调函数,则1m+12,m+123,解得12f(x)在x(0,6)上恒成立,得-x6lnx+x2-8x+c在x(0,6)上恒成立,即c-x2+7x-6lnx在x(0,6)上恒成立,设g(x)=-x2-6lnx+7x,x(0,6,则c0,当x32,2时,g(x)0,g(x)为增函数,当x0,32和(2,6时,g(x)0,g(x)min=g(6)=6-6ln6.又c3,c6-6ln6.
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