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专题对点练3分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=2x-3,x1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+)C.(2,+)D.(-,0)(2,+)2.函数y=5x-1+10-x的最大值为()A.9B.12C.26D.3263.在等比数列an中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-12C.1或-12D.-1或124.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是()A.32B.5C.32或52D.32或55.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=34x,则该双曲线的离心率为()A.54B.53C.54或53D.35或456.若a0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.pqD.当a1时,pq;当0a1时,p0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=.10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2,若对任意xa,a+2,f(x+a)f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.11.函数y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值为.12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.三、解答题13.已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=p,pq,q,pq.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)求F(x)的最小值m(a);求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).专题对点练3答案1.B解析 若2a-31,解得a2,与a1,解得a0,故a的范围是(0,+).2.D解析 设a=(5,1),b=(x-1,10-x),ab|a|b|,y=5x-1+10-x52+12x-1+10-x=326.当且仅当5x-1=10-x,即x=25126时等号成立.3.C解析 当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q1时,则a1q2=7,a1(1-q3)1-q=21,解得q=-12(q=1舍去).综上可知,q=1或q=-12.4.D解析 因为m是2和8的等比中项,所以m2=28=16,所以m=4.当m=4时,圆锥曲线y24+x2=1是椭圆,其离心率e=ca=32;当m=-4时,圆锥曲线x2-y24=1是双曲线,其离心率e=ca=51=5.综上知,选项D正确.5.C解析 当焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;当焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53.故选C.6.C解析 当0a1时,可知y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,则a3+1loga(a2+1),即pq.当a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,则a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.综上可得pq.7.C解析 f(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间1,4上单调递减,则有f(x)0在1,4上恒成立,即3x2-2tx+30,即t32x+1x在1,4上恒成立,因为y=32x+1x在1,4上单调递增,所以t324+14=518,故选C.8.B解析 方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+).故选B.9.-32解析 当a1时,函数f(x)=ax+b在-1,0上为增函数,由题意得a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0a1时,函数f(x)=ax+b在-1,0上为减函数,由题意得a-1+b=0,a0+b=-1,解得a=12,b=-2,所以a+b=-32.10.(-,-5解析 因为当x0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在0,+)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意xa,a+2,不等式f(x+a)f(3x+1)恒成立,则x+a3x+1恒成立,即a2x+1恒成立,因为xa,a+2,所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a2a+5,解得a-5.即实数a的取值范围是(-,-5.11.13解析 原函数等价于y=(x-1)2+(0-1)2+(x-3)2+(0-2)2,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A(1,-1),连接AB交x轴于点P,则线段AB的值就是所求的最小值,即|AB|=(1-3)2+(-1-2)2=13.12.(3,41)解析 如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求y2+z2的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,x2+y2=16,0x0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a2+2.当0x2时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a4,2,a4.
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