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第1讲三角函数的图象与性质考情考向分析1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角基本关系式：sin2cos21，tan .3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例1(1)(2018资阳三诊)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan等于()A7 B C. D7答案A解析由角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2，tan7.(2)(2018衡水金卷信息卷)已知曲线f(x)x32x2x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则cos22cos23sin(2)cos()的值为()A. B C. D答案A解析由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos .思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练1(1)(2018合肥质检)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P，则sin()等于()A B C. D.答案B解析由诱导公式可得，sinsinsin，coscoscos，即P，由三角函数的定义可得，sin ，则sinsin .(2)(2018衡水金卷调研卷)已知sin(3)2sin，则等于()A. B. C. D答案D解析sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos ，则.热点二三角函数的图象及应用函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图：设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图象变换：(先平移后伸缩)ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)(先伸缩后平移)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)例2(1)(2018安徽省江淮十校联考)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度答案A解析由题意知，函数f(x)的最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)cos 2x的图象，故选A.(2)(2018永州模拟)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为1,2，则_.答案解析函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则A2，解得T，所以2，即f(x)2sin(2x)，当x时，f2sin0，又|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练2(1)(2018潍坊模拟)若将函数ycos x(0)的图象向右平移个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则的最小值为()A. B. C. D.答案B解析将函数ycos x(0)的图象向右平移个单位长度后得到函数的解析式为ycos cos.平移后得到的函数图象与函数ysin x的图象重合，2k(kZ)，即6k(kZ)当k0时，.(2)(2018北京朝阳区模拟)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则_；函数f(x)在区间上的零点为_答案2解析从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，从而求得函数的最小正周期为T2，根据T可求得2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，结合所给的区间，整理得出x.热点三三角函数的性质1三角函数的单调区间ysin x的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)；ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x的单调递增区间是(kZ)2yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数例3设函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.(1)求的值；(2)若函数yf(x)是奇函数，求函数g(x)cos(2x)在0,2上的单调递减区间解(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得22f(x)max224，f(x)max1，2424，整理得T2.又0，T2，.(2)由(1)可知f(x)sin，f(x)sin.yf(x)是奇函数，sin0，又0，g(x)cos(2x)cos.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函数g(x)的单调递减区间是，kZ.又x0,2，当k0时，函数g(x)的单调递减区间是；当k1时，函数g(x)的单调递减区间是.函数g(x)在0,2上的单调递减区间是，.思维升华函数yAsin(x)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题跟踪演练3(2018四川成都市第七中学模拟)已知函数f(x)sinsin 2xa的最大值为1.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)sinsin 2xacos 2xsin 2xa2sina1，2a1，即a1，最小正周期为T.f(x)2sin1，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)f2sin12sin1.x，2x，当2x，即x0时，sin，g(x)取最大值1；当2x，即x时，sin1，g(x)取最小值3.真题体验1(2018全国)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当1cos x时，f(x)0，f(x)单调递减；当0，f(x)单调递增，当cos x时，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当sin x时，f(x)有最小值，即f(x)min2.2(2018全国改编 )若f(x)cos xsin x在a，a上是减函数，则a的最大值是_答案解析f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，ysin单调递增，f(x)sin单调递减函数f(x)在a，a上是减函数，a，a，00)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案A解析由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可故选A.2如图，函数f(x)Asin(x) 与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为()A. B. C8 D16押题依据由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想答案B解析由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0)则M，由两点间距离公式，得PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，从而f(0)Asin8，得A.3已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)，求角x的大小；(2)当x时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值押题依据三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解(1)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2xcos，f(x)cos，可得cos.由题意可得x(0，)，2x，可得2x或，x或.(2)x，2x，cos，f(x)cos，1f(x)的最小值为，此时2x，即x.A组专题通关1(2018佛山质检)函数ysincos的最小正周期和振幅分别是()A， B，2 C2，1 D2，答案B解析ysincossinsin2sin，T，振幅为2.2(2018天津市十二校模拟)已知函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是()A. B. C. D.答案D解析由函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，可得2，f(x)sin.将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，得ysin的图象，平移后图象关于y轴对称，2|k(kZ)，|(kZ)，令k1，得.3(2018河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)sin x2cos21(0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则的值为()A. B. C. D.答案A解析f(x)sin x2cos21sin xcos x2sin，则g(x)2sin2sin.由图知T2，2，g(x)2sin，则g2sin2sin2，即22k，kZ，k，kZ.又0，的值为.4(2018山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f(x)2sin(x)，f(x1)2，f(x2)0，若|x1x2|的最小值为，且f1，则f(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案B解析由f(x1)2，f(x2)0，且|x1x2|的最小值为，可知，T2，又f1，则2k，kZ，00)图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论正确的是()Af(x)的最大值为1Bf(x)的图象关于直线x对称Cf的一个零点为xDf(x)在区间上单调递减答案D解析因为f(x)sin xcos x2sin的相邻的对称轴之间的距离为，所以，得2，即f(x)2sin，所以f(x)的最大值为2，所以A错误；当x时，2x，所以f0，所以x不是函数图象的对称轴，所以B错误；由f2sin2sin，当x时，f20，所以x不是函数的一个零点，所以C错误；当x时，2x，f(x)单调递减，所以D正确6在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(，1)，则tan _，cos sin_.答案0解析角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(，1)，x，y1，tan ，cos sincos cos 0.7(2018河北省衡水金卷模拟)已知tan 2，则_.答案解析tan 2，.8(2017全国)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，当cos x时，f(x)取得最大值，最大值为1.9(2018潍坊模拟)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当x0时，f(x)0，则f_.答案解析f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin x，则f(x)f(x)sin(x)f(x)sin x.f(x)f(x)，即f(x2)f(x)函数f(x)的周期为2，ffffsin.当0f或f0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sinb2对x恒成立，则的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析因为函数f(x)2sin(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，所以函数周期为T，2，当x时，2x，且|，由f(x)2知，sin(2x)，所以解得.13函数f(x)的图象与函数g(x)2sin x(0x4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.答案解析如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.14已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1.又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，g(x)单调递增；当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，g(x)单调递减g(x)的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.
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