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课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线1过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合条件的直线有且只有两条2(2019张掖高三诊断)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|()A. B.C5 D.解析：选D过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|px1x2.p2，|AB|2.3(2018聊城二模)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()Ayx1 By2x5Cyx3 Dy2x3解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有得yy4(x1x2)，由题可知x1x2.2，即kAB2，直线l的方程为y12(x2)，即2xy30.故选D.4(2019厦门模拟)过双曲线C：1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是()A没有交点B只有一个交点C有两个交点且都在左支上D有两个交点分别在左、右两支上解析：选D直线l的方程为y，代入C：1，整理得23x28x1600，(8)24231600，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上5已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，则|AB|()A3 B4C3 D4解析：选C由题意可设lAB为yxb，代入yx23得x2xb30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2b3，y1y2x1bx2b12b.所以AB中点坐标为，该点在xy0上，即0，得b1，所以|AB|3.6(2019青岛模拟)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ的面积为4，则p的值为()A. B1C. D2解析：选D设过点A与抛物线相切的直线方程为ykx.由得x22pkxp20，由4k2p24p20，可得k1，则Q，P，APQ的面积为2pp4，p2.故选D.7已知双曲线C：1(a0，b0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()A2 B.C. D. 解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1x224，y1y230，由两式相减得：，则.由直线AB的斜率k1，1，则，双曲线的离心率e.8(2019福州模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于点N，若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为()Ay2x By22xCy24x Dy28x解析：选CF，直线AB的方程为yx.联立得方程组可得x23px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，则y1y2x1x2p2p，M，N(0，p)，直线MC的方程为yx.C，四边形CMNF的面积为S梯形OCMNSONFp7，又p0，p2，即抛物线E的方程为y24x.故选C.9(2018湖北十堰二模)如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A4 B.C. D.解析：选BABF2为等边三角形，|AB|AF2|BF2|，F1AF260.由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a.|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos 60，(2c)2(6a)2(4a)224a6a，即c27a2，e.故选B.10(2019贵阳模拟)已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2x1的最小值为()A2 B2C4 D3解析：选Al与圆相切，原点到直线的距离d1，m21k2，由得(1k2)x22mkx(m21)0，k21，1k1，由于x1x2，x2x1，0k21，当k20时，x2x1取最小值2.故选A.11(2019安庆模拟)设抛物线x24y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足，若|，则的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线x24y得焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y1，|，y11，解得y1，x1，由抛物线的对称性取x1，A，直线AF的方程为yx1，由解得或B(2，2)，|213，|，3，解得.答案：12(2019武汉调研)已知直线MN过椭圆y21的左焦点F，与椭圆交于M，N两点直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则_.解析：法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为xmy1，则直线PQ的方程为xmy.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).(m22)y22my10y1y2，y1y2.|MN|y1y2|2.(m22)y220y3y40，y3y4.|PQ|y3y4|2 .故2.法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|，|PQ|2b2，则2.答案：213(2019石家庄重中高中摸底)已知抛物线C：y22px(p0)，直线l：y(x1)，l与C交于A，B两点，若|AB|，则p_.解析：由消去y，得3x2(2p6)x30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x21，所以|AB|22 ，所以p2.答案：214(2018深圳二模)设过抛物线y22px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y28px(p0)的另一个交点为Q，则_.解析：设直线OP的方程为ykx(k0)，联立得解得P，联立得解得Q，|OP| ，|PQ| ，3.答案：315已知抛物线E：y22px(p0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为1，求直线l的方程解：(1)抛物线E：y22px(p0)的准线方程为x，由抛物线的定义可知3 4，解得p2，抛物线E的方程为y24x.(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y24x，焦点F(1,0)，设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，整理得 (x1x2)线段AB中点的纵坐标为1，直线l的斜率kAB2，直线l的方程为y02(x1)，即2xy20.法二：由(1)得抛物线E的方程为y24x，焦点F(1,0)，设直线l的方程为xmy1，由消去x，得y24my40. 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 线段AB中点的纵坐标为1，1，解得m，直线l的方程为xy1，即2xy20.16(2019佛山模拟)已知直线l过点P(2,0)且与抛物线E：y24x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；(2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|OD|的值解：(1)A是PC的中点，P(2,0)，C在y轴上，A点的横坐标为1，又A在第四象限，A(1，2)直线l的方程为y2x4.(2)显然直线l的斜率不为0，设l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组消去x得y24my80，y1y28，故x1x24，D在以AB为直径的圆上，且在直线OB上，设(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，(x2x1)x2(y2y1)y20，即2x42y80，易知0，(xy)4.|OB|OD|(xy)4.17(2019广州调研)如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的上焦点为F1，椭圆C的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若0，且|MO|MA|，求直线l的方程解：(1)因为椭圆C的离心率为，所以，即a2c.又a2b2c2，所以b23c2，即b2a2，所以椭圆C的方程为1.把点代入椭圆C的方程中，解得a24.所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知，A(0,2)，设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为ykx2，由得(3k24)x212kx0.设B(xB，yB)，得xB，所以yB，所以B.设M(xM，yM)，因为|MO|MA|，所以点M在线段OA的垂直平分线上，所以yM1，因为yMkxM2，所以xM，即M.设H(xH,0)，又直线HM垂直于直线l，所以kMH，即.所以xHk，即H.又F1(0,1)，所以，.因为0，所以0，解得k.所以直线l的方程为yx2.
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