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专题突破六构造函数法在导数中的应用所谓“构造函数”即从无到有，即在解题的过程中，根据题目的条件和结构特征，不失时机地“构造”出一个具体函数，对学生的思维能力要求较高，难度较大，一般都作为小题或解答题的压轴部分一、作差法构造例1设函数f(x)lnx，g(x)ax，它们的图像在x轴上的公共点处有公切线求证：当x1时，f(x)1知，h(x)0，所以h(x)在(1，)上是减函数，即h(x)h(1)0，f(x)g(x)点评证明不等式或证明不等式恒成立问题都可以利用作差法，将不等式右边转化为0，然后构造新函数F(x)，最后根据新函数F(x)的单调性转化为F(x)min0或F(x)max0来解决跟踪训练1当x(0，)时，证明：lnx1.考点题点证明设g(x)lnx1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的极小值点，也是最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当x(0，)时，lnx1.二、分离参数法构造例2若对任意的xe，)，都有xlnxaxa，求实数a的取值范围考点题点解对于任意的xe，)，都有xlnxaxa，等价于a在e，)上恒成立，令h(x)，h(x)，xe，)，当xe时，(xlnx1)10，即m(x)xlnx1在e，)上是增加的，故m(x)m(e)e20，h(x)0，所以h(x)在e，)上是增加的，h(x)minh(e)，所以a，即实数a的取值范围是.点评恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数，转化为aF(x)min或aF(x)max.其中F(x)为构造的新函数跟踪训练2(2018玉溪模拟)已知函数f(x)extx(e为自然对数的底数)若对于任意的x(0,2，不等式f(x)0恒成立，则实数t的取值范围为_考点题点答案(e，)解析依题意得extx0在(0,2上恒成立，即对任意的x(0,2，t恒成立令g(x)，g(x).当0x0；当1x2时，g(x)f(x)，则当a0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为()Af(a)eaf(0)Cf(a)eaf(0) D不能确定考点题点答案B解析令F(x)，则F(x)0，从而F(x)在R上是增加的，于是当a0时，F(a)F(0)f(0)，即f(a)eaf(0)点评常依据(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)和来构造函数如熟悉下列结论可达到事半功倍的效果如：(1)对于f(x)f(x)0构造h(x)exf(x)；(2)对于f(x)f(x)0构造h(x)；(3)对于xf(x)f(x)0构造h(x)xf(x)；(4)对于xf(x)f(x)0构造h(x).跟踪训练3设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_考点题点答案(1,0)(0,1)解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数又F(x)，且当x0时，xf(x)f(x)0的x的取值范围是(1,0)(0,1)四、条件转化后的形式的构造例4设函数f(x)lnx，mR，若对任意ba0，a0，1恒成立等价于f(b)b0)，h(x)在(0，)上是减少的，h(x)10在(0，)上恒成立，mx2x2(x0)，则m，m的取值范围是.点评运用下列形式的等价变形构造：分式形式a)f(b)f(a)k(ba)跟踪训练4已知函数f(x)(a1)lnxax21，设a2.证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.考点题点证明不妨假设x1x2，由于a2，f(x)2ax0在(0，)上恒成立，则k的取值范围是()A.B.C.D.考点题点答案D解析由f(x)0在(0，)上恒成立，即k.令g(x)，g(x)，当x时，g(x)0，g(x)是增加的，当x时，g(x).2若，且sinsin0，则下列结论正确的是()AB22C0考点题点答案B解析令f(x)xsinx，f(x)sinxxcosx，当x时，f(x)0，f(x)是增加的，当x时，f(x)sin，f()f()，又f(x)为偶函数，|，故22.3已知f(x)是定义在(0，)上的函数，f(x)是f(x)的导函数，且总有f(x)xf(x)，则不等式f(x)xf(1)的解集为()A(，0) B(0，)C(0,1) D(1，)考点题点答案C解析设g(x)(x0)，则g(x).f(x)xf(x)，g(x)xf(1)g(x)g(1)，f(x)xf(1)的解集为(0,1)4已知函数f(x)的图像关于y轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)acBcabCcbaDabc考点题点答案A解析设F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，因为x0时，f(x)xf(x)0，所以F(x)0，则当x0时，F(x)是减函数，又120.22,0log3ac.5已知函数f(x)alnxx2(x0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2都有2恒成立，则a的取值范围是_考点题点答案1，)解析由2知，函数f(x)的图像上任何一点处的切线斜率都大于或等于2，故f(x)2.且f(x)x(x0)，由x2，有ax(2x)，记g(x)x(2x)(x0)，则ag(x)在(0，)上恒成立，所以ag(x)max(x0)而g(x)x(2x)(x1)21，当x1时，g(x)有最大值1.故a1.6已知f(x)(x0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)比较20162017与20172016的大小并说明理由考点题点解(1)f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)是增加的，当x(e，)时，f(x)f(2017)，即，即2017ln20162016ln2017，即ln20162017ln20172016，又ylnx在(0，)上是增加的，所以2016201720172016.7已知函数f(x)x22alnx(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)在1，e上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，都有a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解(1)当a1时，f(x)x22lnxx.则f(x)x1，x1，e当x1,2)时，f(x)0.f(x)在1,2)上是减函数，在(2，e上是增函数当x2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)2ln2.又f(1)，f(e)e2，f(e)f(1)e20，f(e)a恒成立，不妨设0x1a，即f(x2)ax2f(x1)ax1.设g(x)f(x)axx22alnx(a2)xaxx22alnx2x，则g(x)x2.只需g(x)在(0，)上为增函数，即g(x)0在(0，)上恒成立，只需12a0，解得a.即a的取值范围是.
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