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(四)解析几何1(2018浙江省台州中学模拟)过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l. (1)若k10，k20，证明：0，k20，k1k2，0k1k21，故b0)的两焦点分别是F1，F2，点E在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得2，求以F1P为直径的圆面积的取值范围解(1)由已知，得半焦距c，2a|EF1|EF2|4，所以a2，所以b2a2c2826，所以椭圆C的方程是1.(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t，t2.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为ykxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2得x12x2，联立得(34k2)x28ktx4t2240，由题意，得64k2t24(34k2)(4t224)0，整理得t28k26，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，由，消去x1，x2得k2，由解得t26，综上t26，又因为以F1P为直径的圆面积S，所以S的取值范围是.3(2018浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y2mx2m2m与抛物线C：x2y相交于A，B两点，定点M.(1)证明：线段AB被直线yx平分；(2)求MAB面积取得最大值时m的值(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组得x22mx2m2m0，x1x22m，x1x22m2m，则m，m，线段AB的中点坐标为(m，m)，线段AB被直线yx平分(2)解|AB|(0m1)，点M到直线AB的距离为d，MAB的面积S|AB|d|12(m2m)|(0m1)，令t，则St|12t2|，又0b0)，A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2.(1)求椭圆C的离心率；(2)设直线l与x轴交于点D(，0)，交椭圆于P，Q两点，且满足3，当OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程解(1)M(0，b)，A(a,0)，B(a,0)，k1，k2，k1k2，e.(2)由(1)知e，得a23c2，b22c2，可设椭圆C的方程为2x23y26c2，设直线l的方程为xmy，由得(2m23)y24my66c20，因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，所以48m24(2m23)(66c2)0，由根与系数的关系得，y1y2，y1y2.又3，所以y13y2，代入上述两式得66c2，所以SOPQ|OD|y1y2|，当且仅当m2时，等号成立，此时c2，代入，此时0成立，所以椭圆C的方程为1.5已知在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(x0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C相交于A，B两点，设点Q在直线xy10上，且满足t(O为坐标原点)，求实数t的最小值解(1)方法一因为点P(x，y)(x0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以|PN|1|x|，将点N的坐标代入，并整理得y24x.故点P的轨迹C的方程是y24x.方法二因为平面上动点P到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以点P到点N(1,0)的距离与点P到直线x1的距离相等，即点P的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P的轨迹C的方程为y24x.(2)由题意知直线AB的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y24x有两个交点，设直线AB：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由得k2x24(k21)x4k20(k0)16(2k21)0恒成立，所以x1x2，x1x24，因为t，所以(x1x2，y1y2)t(x，y)，即x，y，又点Q在xy10上，所以10.所以t44233.故实数t的最小值为3.6.如图，过椭圆M：y21的右焦点F作直线交椭圆于A，C两点(1)当A，C变化时，在x轴上求定点Q，使得AQFCQF；(2)设直线QA交椭圆M的另一个交点为B，连接BF并延长交椭圆于点D，当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线AC的方程解(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，Q(q,0)，当A，C不在x轴上时，设直线AC的方程为xty1，代入椭圆M的方程，可得(2t2)y22ty10.则y1y2，y1y2，由意题知kAQkCQ0，即2ty1y2(1q)(y1y2)0，整理得2t2t(1q)0，由题知无论t取何值，上式恒成立，则q2，当A，C在x轴上时，定点Q(2,0)依然可使AQFCQF成立，所以点Q的坐标是(2,0)(2)由(1)知AQFCQF，BQFDQF.所以B，C关于x轴对称，A，D关于x轴对称，所以四边形ABCD是一个等腰梯形则四边形ABCD的面积S(t)|x1x2|y1y2|t|y1y2|28.由对称性不妨设t0，求导可得S(t)8，令S(t)0，可得t2，由于S(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t2时，四边形ABCD的面积S取得最大值此时，直线AC的方程是xy1.
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