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第一章立体几何初步检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法中正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.由6个大小一样的正方形所组成的平面图形是正方体的展开图C.正方体的各条棱长都相等D.棱柱的各条棱长都相等解析：根据棱柱的定义可知,棱柱的侧面都是平行四边形,侧棱长相等,但是侧棱和底面内的棱长不一定相等,而正方体的所有棱长都相等.答案：C2如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定答案：A3将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥答案：D4给出下列四个命题:三点确定一个平面;一条直线和一个点确定一个平面;若四点不共面,则每三点一定不共线;三条平行线确定三个平面.正确的结论个数为()A.1B.2C.3D.4解析：中不共线的三点确定一个平面;中一条直线和直线外一点确定一个平面;中若四点不共面,则每三点一定不共线,故正确;中不共面的三条平行线确定三个平面.答案：A5一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积为()A.48B.64C.80D.84解析：由三视图可知,该几何体是底面边长为8,斜高为5的正四棱锥,所以此几何体的侧面积为S侧=854=80,故选C.答案：C6表面积为16的球的内接正方体的体积为()A.8B.169C.6439D.16答案：C7已知直线l平面,直线m平面,有下面四个命题:lm;lm;lm;lm.其中正确的命题是()A.与B.与C.与D.与答案：B8如图所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测),若A1D1y轴,A1B1C1D1,A1B1=23C1D1=2,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是()A.10B.5C.52D.102解析：平面图形还原如图.CD=C1D1=3,AD=2A1D1=2,AB=A1B1=2,ADC=90.故SABCD=12(2+3)2=5.答案：B9如图,四边形BCDE是一个正方形,AB平面BCDE,则图中互相垂直的平面共有()A.4组B.5组C.6组D.7组答案：B10棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1,S2,S3,则()A.S1S2S3B.S3S2S1C.S2S1S3D.S1S3S2解析：由截面性质可知,设底面积为S.SS1=212S1=14S;SS2=21S2=12S;SS33=21S3=134S.可知S1S2S3,故选A.答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,DD1的中点,则过D,E,F三点截正方体所得截面的形状是.解析：取A1B1的中点G,则截面应为DD1GE,易证为矩形.答案：矩形12正六棱柱的一条最长的对角线是13,侧面积为180,则该棱柱的体积为.解析：如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF是正六棱柱的一条最长的对角线,即CF=13.因为CF=2a,FF=h,所以CF=CF2+FF2=4a2+h2=13.又因为正六棱柱的侧面积S侧=6ah=180,联立解得a=6,h=5或a=52,h=12.故正六棱柱的体积V正六棱柱=634a2h=2703或22532.答案：2703或2252313圆台的上下底面半径分别为1,2,母线与底面的夹角为60,则圆台的侧面积为.解析：由已知母线长为2,则S侧=(r+r)l=(1+2)2=6.答案：614一圆台上底半径为5 cm,下底半径为10 cm,母线AB长为20 cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB的中点M拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短为.解析：画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形可得.答案：50 cm15设a,b是两条不同直线,是两个不同平面,给出下列四个命题:若ab,a,b,则b;若a,则a;若a,则a或a;若ab,a,b,则.其中正确命题的序号是.答案：三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=22,AA1=3.(1)求证:ACBA1;(2)求圆柱的侧面积.(1)证明依题意ABAC.因为AA1平面ABC,所以AA1AC.又因为ABAA1=A,所以AC平面AA1B1B.因为BA1平面AA1B1B,所以ACBA1.(2)解在RtABC中,AB=2,AC=22,BAC=90,所以BC=23.S侧=233=63.17(本小题满分8分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.求:(1)该几何体的体积V;(2)该几何体的侧面面积S.解由题意知该几何体是一个四棱锥,记P-ABCD,如图所示.由已知,知AB=8,BC=6,高h=4.由俯视图知,底面ABCD是矩形,连接AC,BD交于点O,连接PO,则PO=4,即为棱锥的高.作OMAB于点M,ONBC于点N,连接PM,PN.因为PA=PB=PC,M,N为AB,BC的中点,所以PMAB,PNBC.故PM=PO2+OM2=42+32=5,PN=PO2+ON2=42+42=42.(1)V=13Sh=13(86)4=64.(2)S侧=2SPAB+2SPBC=ABPM+BCPN=85+642=40+242.18(本小题满分9分)如图,在五面体中,四边形ABCD是矩形,AD平面ABEF,ABEF,且AD=1,AB=EF=22,AF=BE=2,P,Q,M分别为AE,BD,EF的中点.求证: (1)PQ平面BCE;(2)AM平面ADF.证明(1)连接AC.因为四边形ABCD是矩形,且Q为BD的中点,所以Q为AC的中点.又因为P为AE的中点,所以PQEC.又因为PQ平面BCE,EC平面BCE,所以PQ平面BCE.(2)因为ABEM,且AB=EM=22,所以四边形ABEM为平行四边形,所以AMBE,且AM=BE=2.在AMF中,AM=AF=2,MF=22.所以AM2+AF2=MF2,所以AMAF.由AD平面ABEF,得ADAM,因为ADAF=A,所以AM平面ADF.19(本小题满分10分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,G分别是AB,DF的中点.(1)求证:CM平面FDM;(2)在线段AD上(含A,D端点)确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.解由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DC=a.(1)证明:因为FD平面ABCD,CM平面ABCD,所以FDCM.在矩形ABCD中,因为CD=2a,AD=a,M为AB中点,DM=CM=2a,所以DM2+CM2=CD2.所以CMDM.因为FD平面FDM,DM平面FDM,且FDDM=D,所以CM平面FDM.(2)点P在A点处.证明:取DC中点S,连接AS,GS,GA,因为G是DF的中点,M为AB的中点,所以GSFC,ASCM,所以平面GSA平面FMC.而GA平面GSA,所以GA平面FMC,即GP平面FMC.20(本小题满分10分)如图,在ABC中,AC=BC=22AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF平面ABC;(2)求证:平面EBC平面ACD;(3)求几何体ADEBC的体积V.解(1)证法一:如图,取BE的中点H,连接HF,GH.因为G,F分别是EC和BD的中点,所以HGBC,HFDE.又因为四边形ADEB为正方形,所以DEAB,从而HFAB.所以平面HGF平面ABC.因为GF平面HGF,所以GF平面ABC.证法二:如图,取BC的中点M,AB的中点N,连接GM,FN,MN.因为G,F分别为EC和BD的中点,所以GMBE,且GM=12BE,NFDA,且NF=12DA.又因为四边形ADEB为正方形,所以BEAD,BE=AD.所以GMNF,且GM=NF.所以四边形MNFG为平行四边形.所以GFMN.又因为MN平面ABC,GF平面ABC,所以GF平面ABC.(2)证明:因为四边形ADEB为正方形,所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC,所以BE平面ABC.所以BEAC.又因为CA2+CB2=AB2,所以ACBC.因为BEBC=B,所以AC平面BCE.所以平面EBC平面ACD.(3)如(1)证法二中的图,连接CN,因为AC=BC,所以CNAB,且CN=12AB=12a.又因为平面ABED平面ABC,所以CN平面ABED.因为C-ABED是四棱锥,所以VC-ABED=13SABEDCN=13a212a=16a3.
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