高中数学必修四课件：《任意角的概念》.ppt

必修四第一章三角函数 月盈则亏是周期现象 钱塘江一线潮由于月球和太阳的引潮力作用 使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象 1 1 1任意角的概念 什么是角 范围是多大 定义 有公共端点的两射线组成的几何图形叫角 顶点 边 边 角的范围 0 360 初中定义 跳水运动员向内 向外转体两周半 这是多大角度 体操中有转体两周或转体两周半 如何度量这些角度呢 经过1小时 秒针 分针各转了多少度 1 角的概念的推广 旋转 形成角如图 一条射线由原来的位置OA 绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB 就形成角 角的构成要素 始边 终边 顶点 A B O 方向 旋转开始时的射线OA叫做角 的始边 旋转终止的射线OB叫做角 的终边 射线的端点O叫做角 的顶点 正角 与 负角 零角 我们规定 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 如图 以OA为始边的角 210 150 660 特别地 当一条射线没有作任何旋转时 我们也认为这时形成了一个角 并把这个角叫做零角即零度角 0 此时零角的始边与终边重合 角的记法 角 或可以简记成 或简记为 如 1500 00 6600等等 角的概念扩展的意义 用 旋转 定义角之后 角的范围大大地扩大了 角有正负之分 如 210 150 660 角可以任意大 实例 体操动作 旋转2周 360 2 720 3周 360 3 1080 还有零角 一条射线 没有旋转 角的概念推广以后 它包括任意大小的正角 负角和零角 要注意 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量 它的正负规定源于实际的需要 就好象与正数 负数的规定一样 零角无正负 就好象数零无正负一样 用旋转来描述角 需要注意三个要素 旋转中心 旋转方向和旋转量 2 旋转方向 旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种 这是一对意义相反的量 根据以往的经验 我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示 那么许多问题就可以解决了 1 旋转中心 作为角的顶点 3 旋转量 当旋转超过一周时 旋转量即超过360 角度的绝对值可大于360 于是就会出现720 540 等角度 旋转方向决定角的符号 旋转量决定角的大小 2 象限角 为了研究方便 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点重合于坐标原点 角的始边重合于x轴的非负半轴 这样一来 角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限的角 要点 1 置角的顶点于原点 2 始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角 坐标轴上的角 轴线角 如果角的终边落在了坐标轴上 就认为这个角不属于任何象限 例如 角的终边落在X轴或Y轴上 例如 30 390 330 是第一象限角 300 60 是第四象限角 585 1300 是第三象限角 135 2000 是第二象限角等 练习 1 锐角是第几象限的角 2 第一象限的角是否都是锐角 举例说明 3 小于90 的角都是锐角吗 答 锐角是第一象限的角 答 第一象限的角并不都是锐角 答 小于90 的角并不都是锐角 它也有可能是零角或负角 练习3 那么下列各角 50 405 210 200 450 分别是第几象限的角 450 3900 3300 3900 300 3600 3300 300 3600 300 1x3600 300 1x3600 300 300 0 x3600 300 2x3600 300 2x3600 300 3x3600 300 3x3600 与300终边相同的角的一般形式为300 K 3600 K Z 3 终边相同的角 结论 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 k 360 k Z 即 任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 注意以下四点 k Z K 0 表示逆时针旋转 K 0 表示顺时针旋转 是任意角 k 360 与 之间是 号 如k 360 30 应看成 30 k 360 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差360 的整数倍 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 k 360 k Z 即 任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 例1 在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它是哪个象限的角 1 120 2 640 3 950 12 解 120 240 1 360 120 的角与240 的角终边相同 它是第三象限角 640 280 1 360 640 的角与280 的角终边相同 它是第四象限角 即 00 3600 解 950 12 129 48 3 360 950 12 的角与129 48 的角终边相同 它是第二象限角 3 950 12 例1 在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它是哪个象限的角 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S 并把S中在 360 720 间的角写出来 1 60 2 21 3 363 14 解 1 S 60 k 360 k Z S中在 360 720 间的角是0 360 60 60 1 360 60 300 1 360 60 420 2 S 21 k 360 k Z S中在 360 720 间的角是0 360 21 21 1 360 21 339 2 360 21 699 3 S 363 14 k 360 k Z S中在 360 720 间的角是0 360 363 14 363 14 1 360 363 14 3 14 2 360 363 14 356 46 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S 并把S中在 360 720 间的角写出来 1 60 2 21 3 363 14 例3写出终边分别落在四个象限的角的集合 终边落在坐标轴上的情形 0 90 180 270 K 360 K 360 K 360 K 360 或360 K 360 第一象限的角表示为 k 360 90 k 360 k Z 第二象限的角表示为 90 k 360 180 k 360 k Z 第三象限的角表示为 180 k 360 270 k 360 k Z 第四象限的角表示为 270 k 360 360 k 360 k Z 例4写出终边落在Y轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的情形 00 900 1800 2700 K 3600 K 3600 K 3600 K 3600 或3600 K 3600 例4解 终边落在 轴非负半轴和非正半轴上的角的集合分别记为为S1 S2S1 90 K 360 K Z S2 270 K 360 K Z 90 180 K360 K Z 90 2K 1 180 K Z 即 S2 90 180 的奇数倍 同理S1 90 180 的偶数倍 终边落在 轴上的角的集合为S S1 S2S 90 K 180 K Z 例5 写出终边在直线y x上的角的集合S 并把S中适合不等式 360 720 的元素 写出来 解析 S 45 k 180 k Z S中适合不等式 360 720 的元素有 315 135 45 225 405 585 小结 1 任意角的概念 正角 射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 射线不作旋转形成的角 1 置角的顶点于原点 2 始边重合于X轴的非负半轴 2 象限角 终边落在第几象限就是第几象限角 3 终边与角 相同的角 K 3600 K Z 4 在0到360度内找与已知角终边相同的角 方法是 用所给角除以3600 所给角是正的 按通常的除法进行 所给角是负的 角度除以3600 商是负数 它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1 以便使余数为正值 5 判断一个角是第几象限角 方法是 所给角改写成 0 k 3600 K Z 00 0 3600 的形式 0在第几象限就是第几象限角 1 锐角是第几象限的角 第一象限的角是否都是锐角 小于90 的角是锐角吗 区间 0 90 内的角是锐角吗 答 锐角是第一象限角 第一象限角不一定是锐角 小于90 的角可能是零角或负角 故它不一定是锐角 区间 0 90 内的角是锐角 2 已知角的顶点与坐标系原点重合 始边落在x轴的非负半轴上 作出下列各角 并指出它们是哪个象限的角 1 420 2 75 3 855 4 510 答 1 第一象限角 2 第四象限角 3 第二象限角 4 第三象限角 3 已知 角的终边相同 那么 的终边在 Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上 A 4 终边与坐标轴重合的角的集合是 A k 360 k Z B k 180 k Z C k 90 k Z D k 180 90 k Z C 5 已知角2 的终边在x轴的上方 那么 是 A第一象限角B第一 二象限角C第一 三象限角D第一 四象限角 C 6 若 是第四象限角 则180 是 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角 C 7 在直角坐标系中 若 与 终边互相垂直 那么 与 之间的关系是 A 90oB 90oC k 360o 90o k ZD k 360o 90o k Z D 8 若90 135 则 的范围是 的范围是 0 45 180 270 9 若 的终边与60 角的终边相同 那么在 0 360 范围内 终边与角的终边相同的角为 解 k 360 60 k Z 所以 k 120 20 k Z 当k 0时 得角为20 当k 1时 得角为140 当k 2时 得角为260 1 下列命题正确的是 A 终边相同的角一定相等B 第一象限角都是锐角C 锐角都是第一象限角D 小于90 的角都是锐角 2 A 小于90 的角 B 第一象限角 则A B A 锐角 B 小于90 的角 C 第一象限角 D 以上都不对 C D 3 已知角 是第三象限角 则角 的终边在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 4 已知角 的终边在下图中阴影所表示的范围内 不包括边界 那么 x y O B