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课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理时间 /45分钟分值 /100分基础热身1.在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则cosA等于 ()A.22B.12C.32D.-122.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinAa=cosBb,则角B的值为 ()A.30B.45C.60D.903.在ABC中,若a=3,b=3,A=3,则ABC的面积为()A.332B.33C.62D.64.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2B2=a+c2c,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形5.2018成都三诊 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=33,b=3,A=3,则角C的大小为.能力提升6.在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于 ()A.45B.-45C.1517D.-15177.2018贵州黔东南州一模 已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3bsinA-acosB-2a=0,则B=()A.3B.23C.4D.68.在ABC中,点D为边AB上一点,若CDBC,AC=32,AD=3,sinCBA=33,则ABC的面积是()A.62B.122C.922D.15229.2018安庆二模 在锐角三角形ABC中,A=2B,则ABAC的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(2,3)D.(1,2)10.2018北京朝阳区一模 在ABC中,已知sinA=55,b=2acosA.若ac=5,则ABC的面积是.11.2018广东江门一模 在ABC中,A=3,3sinB=5sinC.若ABC的面积S=1534,则ABC的边BC的长是.12.2018湖南衡阳二模 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若asinA+bsinB-csinCasinB=2sinC,则C=.13.2018河北保定一模 已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a=3,b=2,且accosB=a2-b2+74bc,则B=.14.(12分)2018济宁二模 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinB-asinA=(b-c)sinC.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=33,求ABC的面积.15.(13分)2018保定二模 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ab=1+cosC.(1)求证:sinC=tanB;(2)若cosB=277,C为锐角,ABC的面积为332,求c.难点突破16.(5分)2018广东茂名3月联考 在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为S,且4S=(a+b)2-c2,则sin4+C=()A.1B.-22C.22D.3217.(5分)2018太原二模 已知点O是ABC的内心,BAC=60,BC=1,则BOC面积的最大值为.课时作业(二十二)1.B解析 由题意得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=32+42-(13)2234=12.2.B解析 由正弦定理知sinAsinA=cosBsinB,所以sinB=cosB,所以B=45.故选B.3.A解析 由正弦定理asinA=bsinB,得3sin3=3sinB,解得sinB=12,又ab,所以B=6,从而C=2,所以SABC=12ab=1233=332.故选A.4.A解析 因为cos2B2=a+c2c,所以1+cosB2=a+c2c,得1+cosB=a+cc.由余弦定理得1+a2+c2-b22ac=a+cc,化简整理得c2=a2+b2,故ABC为直角三角形.故选A.5.2解析 由正弦定理asinA=bsinB得,33sin3=3sinB,得sinB=12,又b0,所以cosA=255,所以sinB=255255=45,所以SABC=12acsinB=2.11.19解析 由3sinB=5sinC和正弦定理得3b=5c,又S=12bcsinA=1534,所以bc=15,解方程组3b=5c,bc=15,得b=5,c=3舍去b=-5,c=-3.在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=52+32-253cos3=19,所以a=19(负值舍去),即BC=19.12.4解析 由已知等式结合正弦定理得,a2+b2-c2ab=2sinC,所以2sinC=2abcosCab,得tanC=1,因为C为三角形的内角,所以C=4.13.6解析 因为accosB=a2-b2+74bc,所以12(a2+c2-b2)=a2-b2+74bc,所以b2+c2-a2=72bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=74,则sinA=34,由正弦定理得sinBsinA=ba,所以sinB=2334=12,因为ba,所以B=6.14.解:(1)由bsinB-asinA=(b-c)sinC和正弦定理得b2-a2=(b-c)c,所以cosA=b2+c2-a22bc=12,由于0A,所以A=3.(2)由于a=6,b+c=33,所以a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,解得bc=7.故SABC=12bcsinA=734.15.解:(1)证明:因为ab=1+cosC,根据正弦定理得sinA=sinB+sinBcosC,即sin(B+C)=sinB+sinBcosC,则sinCcosB=sinB,所以sinC=tanB.(2)因为cosB=277,且B(0,),所以sinB=217,则tanB=32.由于C为锐角,sinC=tanB,所以C=3,则ab=1+cosC=32.因为ABC的面积为332,所以12absinC=332,得ab=6,由和解得a=3,b=2.利用余弦定理得c=a2+b2-2abcosC=7.16.C解析 因为S=12absinC,cosC=a2+b2-c22ab,所以2S=absinC,a2+b2-c2=2abcosC,所以4S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,即2absinC=2abcosC+2ab,因为ab0,所以sinC=cosC+1,又因为sin2C+cos2C=1,所以(cosC+1)2+cos2C=1,解得cosC=-1(舍去)或cosC=0,得C=2,则sin4+C=sin34=22.故选C.17.312解析 由题意得BOC=180-180-602=120,在OBC中,BC2=OB2+OC2-2OBOCcos120,即1=OB2+OC2+OBOC3OBOC(当且仅当OB=OC时取等号),即OBOC13,所以SOBC=12OBOCsin120312,当且仅当OB=OC时SBOC取最大值312.
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