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第二讲基本初等函数、函数与方程A组基础题组1.函数y=ax+2-1(a0且a1)的图象恒过的点是()A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,0)D.(-2,-1)2.已知a1,f(x)=ax2+2x,则使f(x)1成立的一个充分不必要条件是()A.-1x0B.-2x1C.-2x0D.0xbaB.bcaC.cabD.acb6.若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()7.已知直线x=m(m1)与函数f(x)=logax(a0且a1),g(x)=logbx(b0且b1)的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若AB=2BC,则()A.b=a2B.a=b2C.b=a3D.a=b38.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间0,+)上单调递增,若f(lnx)-fln1x2f(1),则x的取值范围是()A.0,1eB.(0,e)C.1e,eD.(e,+)9.已知函数f(x)=ln(x2-4x-a),若对任意的mR,均存在x0使得f(x0)=m,则实数a的取值范围是()A.(-,-4)B.(-4,+)C.(-,-4D.-4,+)10.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x0时,f(x)=lnx-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0B.1C.2D.312.设f1(x)=|x-1|,f2(x)=-x2+6x-5,函数g(x)是这样定义的:当f1(x)f2(x)时,g(x)=f1(x);当f1(x)f2(x)时,g(x)=f2(x).若方程g(x)=a有四个不同的实数解,则实数a的取值范围是()A.(-,4)B.(0,4)C.(0,3)D.(3,4)13.设f(x)=2ex-1,x2的解集为.14.若函数f(x)=ax(a0,且a1)在-2,1上的最大值为4,最小值为m,则m的值是.15.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0m0且a1)在(-,+)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的大致图象是()3.(2018河北唐山五校联考)奇函数f(x),偶函数g(x)的图象分别如图(1)(2)所示,函数f(g(x),g(f(x)的零点个数分别为m,n,则m+n=()A.3B.7C.10D.144.(2018广西南宁模拟)设函数f(x)=lnx-2x+6,则f(x)的零点个数为()A.3B.2C.1D.05.(2018吉林长春质量检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+)=f(-x),当x0,2时,f(x)=x,则函数g(x)=(x-)f(x)-1在区间-32,3上所有的零点之和为()A.B.2C.3D.46.(2018湖南湘东五校联考)已知函数f(x)=|x+1|,-7x0,lnx,e-2xe,g(x)=x2-2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为()A.-1,+)B.(-,-13,+)C.-1,3D.(-,37.已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,123,+)B.(0,13,+)C.(0,223,+)D.(0,23,+)8.设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.13,1B.-,13(1,+)C.-13,13D.-,-1313,+9.设函数f(x)=(x-a)2+e,x2,xlnx+a+10,x2(e是自然对数的底数),若f(2)是函数f(x)的最小值,则实数a的取值范围是()A.-1,6B.1,4C.2,4D.2,610.已知在(0,+)上函数f(x)=-2,0x1,1,x1,则不等式log2x-log14(4x)-1f(log3x+1)5的解集为.11.定义函数y=f(x),xI,若存在常数M,对于任意x1I,存在唯一的x2I,使得f(x1)+f(x2)2=M,则称函数f(x)在I上的“均值”为M,已知f(x)=log2x,x1,22018,则函数f(x)=log2x在1,22018上的“均值”为.12.(2018浙江,15,6分)已知R,函数f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x.当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.13.(2018湖南益阳、湘潭调研)设函数f(x)=x3-3x2-ax+5-a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)0且a1)的图象恒过点(-2,0).2.Aa1,y=ax在R上为增函数,故f(x)1ax2+2x1ax2+2xa0x2+2x0-2x0.结合选项可知,使f(x)1成立的一个充分不必要条件是-1x0),3361=t1080,361lg3=lgt+80,3610.48=lgt+80,lgt=173.28-80=93.28,t=1093.28.故选D.5.D因为a=60.71,b=log70.60,0c=log0.60.7cb.故选D.6.B由函数y=logax(a0,且a1)的图象可知loga3=1,所以a=3.对于选项A:y=3-x=13x为减函数,A错误;对于选项B:y=x3,显然满足条件;对于选项C:y=(-x)3=-x3在R上为减函数,C错误;对于选项D:y=log3(-x),当x=-3时,y=1,D错误.故选B.7.C由于AB=2BC,则AC=3BC,则点A的坐标为(m,3g(m).又点A在函数f(x)=logax的图象上,故logam=3logbm,即logam=logbm3,由对数运算可知b=a3.8.C函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(lnx)-fln1x=f(lnx)-f(-lnx)=f(lnx)+f(lnx)=2f(lnx),f(lnx)-fln1x2f(1)等价于|f(lnx)|f(1).又f(x)在区间0,+)上单调递增,-1lnx1,解得1ex1.因为2=623=68,33=632=69,所以255,所以55233.分别作出函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x的大致图象,如图,则3y2x0时,f(x)=lnx-x+1,则f(x)=1x-1=1-xx,所以x(0,1)时,f(x)0,此时f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象,如图,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有2个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点.故选C.12.D作出函数f1(x)=|x-1|,f2(x)=-x2+6x-5的图象如图所示,函数g(x)的图象为两函数图象中位置在上的部分(即图中实线部分),即g(x)=-x+1,x1,-x2+6x-5,14.由y=x-1,y=-x2+6x-5,得A(4,3).又函数f2(x)=-x2+6x-5图象的顶点坐标为B(3,4),所以要使方程g(x)=a有四个不同的实数解,即函数g(x)的图象与函数y=a的图象有四个不同的交点,数形结合可得3a2,x2,x2,分别解这两个不等式组,得1x10,所以所求不等式的解集为(1,2)(10,+).14.答案12或116解析若a1,则有f(1)=a=4,f(-2)=a-2=m,解得m=1a2=116;若0a1,则有f(1)=a=m,f(-2)=a-2=4,解得m=a=12,所以m=12或m=116.15.答案9解析f(x)=|log3x|,正实数m,n满足mn,且f(m)=f(n),-log3m=log3n,mn=1,0m11,所以函数g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)在(-1,+)上是增函数.故选C.3.C当f(g(x)=0时,由题图(1)可知,g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1,再由题图(2)可知,g(x)=-1有2个根,g(x)=0有3个根,g(x)=1有2个根,所以f(g(x)=0有7个根,即f(g(x)有7个零点;同理g(f(x)有3个零点.所以m+n=10.故选C.4.B函数f(x)=lnx-2x+6的定义域为(0,+),f(x)=1x-2=1-2xx.令f(x)=0,解得x=12.当0x0,函数f(x)单调递增;当x12时,f(x)0.当x0且x0时,f(x)-;当x+时,f(x)-.故函数f(x)有且只有2个零点.故选B.5.D由f(x)为奇函数,得f(x+2)=f(x+)=f(-x-)=-f(x+)=-f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为2,易知其图象关于点(,0)对称,g(x)在区间-32,3上所有的零点之和可转化为函数f(x)和y=1x-的图象在-32,3上的交点的横坐标之和,由函数y=1x-的图象关于点(,0)对称知,函数g(x)在-32,3上的零点也关于点(,0)对称.作出函数f(x)与y=1x-的大致图象,如图,结合图象可知,两函数图象在-32,3上共有4个交点,所以函数g(x)的所有零点之和为4.故选D.6.C当-7x0时,f(x)=|x+1|0,6;当e-2xe时,f(x)=lnx单调递增,则f(x)-2,1.综上,f(x)-2,6.若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则有-22g(a)6,即-1a2-2a3-1a3.故选C.7.B当01时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=x+m的大致图象,如图.要满足题意,则(m-1)21+m,解得m3或m0(舍去),m3.综上,正实数m的取值范围为(0,13,+).8.A当x0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f(x)=11+x+2x(1+x2)20,f(x)在(0,+)上为增函数.易证f(x)为偶函数,由f(x)f(2x-1)得f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即3x2-4x+10,解得13x2时,函数f(x)=xlnx+a+10,则f(x)=lnx-1ln2x,故x(2,e)时,f(x)0,函数f(x)在x2时的最小值为f(e),当x2时,f(x)=(x-a)2+e的图象的对称轴是直线x=a,要使f(2)是函数f(x)的最小值,则a2,f(2)f(e)a2,4-4a+a2+ee+a+10a2,-1a62a6.故选D.10.答案13,4解析原不等式等价于log3x+11,log2x-log14(4x)-15或0log3x+11,log2x+2log14(4x)-15,解得1x4或13x1,原不等式的解集为13,4.11.答案1009解析根据定义,令x1x2=122018=22018,当x11,22018时,选定x2=22018x11,22018,可得M=12log2(x1x2)=1009.12.答案(1,4);(1,3(4,+)解析当=2时,不等式f(x)0等价于x2,x-40或x2,x2-4x+30,即2x4或1x2,故不等式f(x)4;两个零点为1,4,由图可知,此时10,得x2,故g(x)在(-,0),(2,+)上单调递增;由g(x)0,得0x2,故g(x)在(0,2)上单调递减.画出函数g(x)和h(x)的大致图象如图所示,函数h(x)的图象过定点(-1,0).由图可知若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)0,即存在唯一的正整数x0,使得g(x0)h(x0),只需g(1)h(1),g(3)h(3),g(2)h(2),即1-3+52a,27-27+54a,8-12+53a,解得13a54.
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