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专题23 与三角函数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD45，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD_m.【答案】 18【解析】：设BDx m，作AHCD，垂足为H，记HAC，HAD，则45.因为tan，tan，且tan()1，得1，即x215x540，即(x3)(x18)0，解得x18. 在解方程的过程中，若记t，则5t16t2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方程的根2.如图1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.【答案】 150【解析】 根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米. 【答案】 4、如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2.设AOCx rad.(1) 写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2) 试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值？ 思路分析 对于(1)，面积S由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式Sr2可得，另一个是OCD的面积，根据三角形的面积公式absinC可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值【解析】： (1) 因为扇形AOC的半径为40 m，AOCx rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x,0x.(2分)在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD的面积SCODOCODsinCOD1 600sin(x)1 600sinx，(4分)从而SSCODS扇形AOC1600sinx800x,0x.(6分)【问题探究，变式训练】例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60，杆AC长为1米若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米设ADB，制作整个支架的总成本记为S元(1) 求S关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2) 问AD段多长时，S最小？【解析】： (1) 在ABD中，由正弦定理得，(1分)所以BD，AD，(3分)则Sa2a4aa，.(7分)(2) 令Sa0，设cos0.(9分)0cosS0S单调递减极小单调递增(11分)所以当cos时，S最小，此时sin，AD.(12分)答：(1)S关于的函数表达式为Sa，且；(2)当AD时，S最小(14分)【变式1】、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OCAB.在OC上有一座观赏亭Q，其中AQC.计划在上再建一座观赏亭P，记POB.(1) 当时，求OPQ的大小； (2) 当OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角的正弦值 设OPQ，在POQ中，用正弦定理可得含，的关系式【解析】： 因为AQC，所以AQO.又OAOB3，所以OQ.(2分) 在OPQ中，OQ，OP3，POQ，设OPQ，则PQO.由正弦定理，得，即sincos()(4分) 展开并整理，得tan，其中.(8分) (1) 当时，tan.因为(0，)，所以.答：当时，OPQ.(10分) (2) 解法1 设f()，.则f().令f()0，得sin，记锐角0满足sin0.(13分) 列表如下：(0，0)0f()0f()由上表可知，f(0)是极大值，也是最大值因为tanf()0，且(0，)，所以当tan取最大值时，也取得最大值答：游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sin.(16分) 解法2 记T，则TcosTsin(1，T)(cos，sin)，得T，当且仅当tan，即sin时取等号(13分) 所以tan的最大值为.显然tan0，所以当tan时，取最大值答：游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sin.(16分) 【变式2】、 ）(2017苏锡常镇调研（一）（C13,17. (本小题满分14分)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度之和记为l.(1) 请将l表示成关于的函数lf()；(2) 问：当为何值时l最小，并求最小值(2) f()hh，(8分)令f()h0，得.(9分)当变化时，f()，f()的变化情况如下表：f()0f()极小值所以lminfh.(12分)答：(1) l表示成关于的函数为lf()h；(2) 当时，l有最小值，为h.(14分)【变式3】、 在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC（1）求BC的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价【解析】：（1）因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以ABAC在ABC中，SABCABACsin400，所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos，4AC22AC2 cos(42cos) ，即BC 40 所以 BC40 ，(0，) 7分（2）设表演台的总造价为W万元因为CD10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W3BC120 ，(0，) 9分记f()，(0，)则f () 11分由f ()0，解得当(0，)时，f ()0；当(，)时，f ()0故f()在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而当 时，f()取得最小值，最小值为f()1 所以Wmin120(万元) 答：表演台的最低造价为120万元 14分例2、如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OCBO.设ACxkm.(1) 用x分别表示OA2OB2和OAOB，并求出x的取值范围；(2) 晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值【解析】： (1) 在OAC中，AOC120，ACx.由余弦定理得OA2OC22OAOCcos120x2.又OCBO，所以OA2OB22OAOBcos120x2.(2分)在OAB中，AB10，AOB60.由余弦定理得OA2OB22OAOBcos60100.(4分)得OA2OB2.得4OAOBcos60x2100，即OAOB.(6分)又OA2OB22OAOB，所以2，即x2300.又OAOB0，即x2100，所以100，(14分)则f(x)在(10,10上是单调增函数，所以f(x)的最大值为f(10)10，即BD的最大值为10.(16分)(利用单调性定义证明f(x)在(10,10上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出f(x)在(10,10上是增函数，但未给出证明，扣2分)【变式1】、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，百米，百米该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于两点），（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物已知种植观赏植物的成本为每平方百米万元，种植经济作物的成本为每平方百米万元，新建道路的成本为每百米万元，求以上三项费用总和的最小值【解析】： （1）过点作垂直于线段，垂足为在直角中，因为ABBC，所以在直角中，因为，所以，则，CBA（第17题）DP故，又，所以 2分在中，由正弦定理得，所以， 6分（2）在中，由正弦定理得，所以所以又所以 8分设三项费用总和为，则， 10分所以，令，则-0+列表：所以时，答：以上三项费用总和的最小值为万元 14分【变式2】、如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N (异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：km)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? (第17题)答：设计AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小(14分)解法2 (构造直角三角形) 设PMB.当0时，在PMD中，因为PM2，所以PD2sin，MD2cos. (2分)在AMN中，ANMPMB，所以，AMsin，所以ADsin2cos.(6分)AP2AD2PD22(2sin)2 sin2sincos4cos24sin2(8分) sin24 sin2cos2 sin，. (12分)当且仅当2，即时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.此时AMAN2，PAB30.(14分)解法3 设AMx，ANy，AMN.在AMN中，因为MN2，MAN60，所以MN2AM2AN22 AMANcosMAN，即x2y22xycos60x2y2xy4.(2分)因为，即，所以siny，cos.(6分)cosAMPcos(60)cossiny.(8分)在AMP中，AP2AM2PM22 AMPMcosAMP，即AP2x2422xx24x(x2y)42xy.(12分)因为x2y2xy4,4xyx2y22xy，即xy4.所以AP212，即AP2.当且仅当xy2时，AP取得最大值2.答：设计AMAN2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小(14分)例3、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为1m，且设，透光区域的面积为（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边的长度【解析】（1）过点作于点，则，ABCDFEOGH所以，2分所以，6分因为，所以，所以定义域为8分（2）矩形窗面的面积为则透光区域与矩形窗面的面积比值为10分设，则，12分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减所以当时，有最大值，此时 (m) 14分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m16分【变式1】、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通已知AB60m，BC80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90的角为.(1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于的函数关系式；(2) 求排管的最小费用及相应的角. 【解析】 (1) 如图，过E作EMBC，垂足为点M.由题意得MEF，故有MF60tan，EF，AEFC8060tan.(4分)所以W(8060tan)12(5分) 80 80.(8分)(2) 解法1 设f()其中00，tan0，则f().(10分)令f()0得12sin0，即sin，得.(11分)列表f()0f()极大值所以当时有f()max，此时有Wmin8060.(15分)答：排管的最小费用为(8060)万元，相应的角.(16分)解法2 f()，当且仅当(1sin)(1sin)时成立，此时sin，.(11分)以下同解法1.【变式2】、如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，EOF.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，ADEF，且点A，D在上，设AOD2.(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；(2) 当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cos的值(第18题)【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S，AOM. 当0时(如图1)，AB4cos2，AD24sin，SABAD(4cos2)(24sin)16sin(2cos1)(3分)当时(如图2)，AB24cos ，AD24sin ，故SABAD64sincos32sin 2.综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为S(7分)【变式3】、如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB20 m，广场的一角是半径为16 m的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价为2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角NBE，总造价为W元(1) 试将W表示为的函数W()，并写出cos的取值范围；(2) 如何选取点M的位置，能使总造价W最小？【解析】;： (1) 过点N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G.在RtBNF中，BF16cos，则MG2016cos.在RtMNG中，MN.(4分)由题意易得CN16，(6分)因此，W()2a16a，(7分)当点M与点A重合时，cos；当点M与点D重合时，cos0，故cos.(9分)(2) W()16a8a8a.令W()0，cos，因为，所以.(12分)设锐角1满足cos1， 1.当时，W()0，W()单调递减；当时，W()0，W()单调递增(14分)所以当时，总造价W最小，最小值为a元，此时MN8，NG4，NF8，因此当AM4 m时，总造价最小(16分)易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少
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