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33.1利用导数判断函数的单调性学习目标1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一函数的单调性与其导数正负的关系思考f(x)x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？答案当x(，0)时，f(x)0.总结(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.知识点二函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些1函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()2函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()3函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()题型一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)在区间上单调递减证明f(x)，又x，则cosx0，xcosxsinx0，f(x)(或)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f(x)(或)0.跟踪训练1证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数证明f(x)，f(x).又0xe，lnx0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数题型二利用导数求函数的单调区间命题角度1不含参数的函数求单调区间例2求f(x)3x22lnx的单调区间解f(x)3x22lnx的定义域为(0，)f(x)6x，由x0，解f(x)0，得x，由x0，解f(x)0，得0x0，函数在定义域内的解集上为增函数(4)解不等式f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，得x0，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，由g(x)0，得x或x(舍去)当x时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减反思感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了跟踪训练3已知函数f(x)x2(am)xalnx，且f(1)0，其中a，mR.(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x(am).由f(1)0，得1(am)a0，解得m1.(2)由(1)得f(x)x(a1).当a1时，由f(x)0，得xa或0x1，此时f(x)的单调递增区间为(a，)，(0,1)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当0a0，得x1或0x0，得x1，此时f(x)的单调递增区间为(1，)综上，当a1时，f(x)的单调递增区间为(a，)，(0,1)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当0a1时，f(x)的单调递增区间为(1，)，(0，a)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)题型三含参数函数的单调性例4若函数f(x)kxlnx在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxlnx在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00(或f(x)0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立，a(2x3)min.设y2x3，y2x3在2，)上单调递增，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)，有且只有f(2)0，a的取值范围是(，16含有参数函数单调性的讨论典例讨论函数f(x)(a1)lnxax21的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a0，函数在(0,6)上单调递增2函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案D解析函数f(x)在(，0)，(0，)上都是减函数，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0)的单调递增区间为()A.B.C(0，) D(0，a)答案A解析f(x)的定义域为x|x0，且a0，由f(x)a0，得0xCmDm答案A解析函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，f(x)3x24xm0在R上恒成立，则判别式1612m0，即m.5求函数f(x)(xk)ex的单调区间解f(x)ex(xk)ex(xk1)ex，当xk1时，f(x)k1时，f(x)0，f(x)的单调递减区间为(，k1)，单调递增区间为(k1，)1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0在(0，)上恒成立，yxex在(0，)上为增函数对于A，C，D都存在x0，使y0，故选项D正确3函数yxcosxsinx在下列哪个区间内是增函数()A.B(，2)C.D(2，3)考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定函数的单调性答案B解析ycosxxsinxcosxxsinx，若yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y0恒成立即可，只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立4已知函数f(x)sinxx，xR，则f，f(1)，f的大小关系是()Aff(1)fBff(1)fCf(1)ffDfff(1)考点题点答案A解析f(x)sinxx，f(x)cosx10，故函数f(x)在R上是减函数，又1f(1)f.5已知函数yf(x)(xR)上任意一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x02)(x01)2，则该函数的单调递减区间为()A1，) B(，2C(，1)和(1,2) D2，)考点题点答案B解析由导数的几何意义知，在(，2，上f(x)0，即该函数的单调递减区间为(，26若函数f(x)(2a1)lnxx在(0,1)上为增函数，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1Ca1D0a1考点题点答案C解析f(x)(2a1)lnxx，f(x)1，由题意知f(x)0在(0,1)上恒成立，2a1x0，即a在(0,1)上恒成立又x(0,1)，a1.7函数f(x)的定义域为R，f(1)1，对任意xR，f(x)2x1的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数求解不等式答案C解析令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0时，x0，即f(x)2x1的解集为(，1)二、填空题8已知函数f(x)kex1xx2(k为常数)，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为_考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间答案(，0)解析f(x)kex11x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x0，故f(x)的单调递减区间为(，0)9函数f(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)0，故不等式0，即2a0，解得a，所以a的取值范围是.三、解答题12已知x0，求证：xsinx.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明设f(x)xsinx(x0)，则f(x)1cosx0对x(0，)恒成立，函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数，又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立，xsinx(x0)13设函数f(x)ax2lnx.(1)若f(2)0，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围考点题点解(1)f(x)的定义域为(0，)因为f(x)a，且f(2)0，所以a10，所以a.所以f(x)(2x25x2)令f(x)0，解得00，由其图象对称轴0可得，解得a1.所以a的取值范围是1，)14f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集考点题点解令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数当x0，h(x)在(，0)上单调递增，h(3)f(3)g(3)0，由h(x)0，得x0时，函数h(x)在R上是奇函数，h(x)在(0，)上单调递增，且h(3)h(3)0，h(x)0的解集为(0,3)，不等式f(x)g(x)0的解集是(，3)(0,3)15已知函数f(x)x3ax2(a1)x1(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，求实数a的取值范围考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数解(1)f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0，得x11，x2a1，当a2时，f(x)0恒成立，则f(x)在R上单调递增，当a2时，当x(a1,1)时，f(x)0，f(x)为增函数当a2时，当x(1，a1)时，f(x)0，f(x)为增函数综上可知，当a2时，f(x)在R上为增函数；当a2时，f(x)在(1，a1)上为减函数，在(，1)，(a1，)上为增函数(2)因为f(x)在(1,4)上为减函数，所以当x(1,4)时，f(x)0；因为f(x)在(6，)上为增函数，所以当x(6，)时，f(x)0.所以4a16，解得5a7.所以实数a的取值范围为5,7
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