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课下层级训练(五十)定点、定值与探索性问题A级基础强化训练1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值(1)解由题意有，1，解得a28，b24所以C的方程为1(2)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得 (2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直线OM的斜率kOM，即kOMk所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2(2019河南开封预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点(1)解由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2圆心M的轨迹方程为x24y(2)证明由题知，直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立得x24kx80，kAC，则直线AC的方程为yy1(xx1)，即yy1(xx1)xx.x1x28，yxx2，故直线AC恒过定点(0,2)3(2018河北邢台期末)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，离心率为，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线yk1x与直线yk2x为圆E的两条切线(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)由2b2得b，e，a2b2c2，解得a220，b25，椭圆C的标准方程为1(2)设E(x0，y0)，直线yk1x与圆E：(xx0)2(yy0)24相切，2，整理得(x4)k2x0y0k1y40，同理可得(x4)k2x0y0k2y40，k1，k2为方程(x4)x22x0y0xy40的两个根，k1k2又E(x0，y0)在椭圆C：1上，y5，k1k2，故k1k2的定值为B级能力提升训练4(2019安徽马鞍山模拟)已知椭圆1(ab0)经过点(1，)，离心率为，过原点O作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，C，直线l2交椭圆于B，D，且|AB|2|BC|2|CD|2|DA|224(1)求椭圆的方程；(2)若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：|k1k2|为定值(1)解由题意知，1且，a2b2c2，解得a24，b22，故椭圆的方程为1(2)证明由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，y1)，D(x2，y2)，由1，得y242x2，|AB|2|BC|2|CD|2|DA|22(|AB|2|DA|2)2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)24(xxyy)4(xx42x42x)4(8xx)24，所以xx2，|k1k2|2，故|k1k2|为定值25(2018湖南张家界三模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆过点.过点(1,0)做两条相互垂直的直线l1、l2分别与椭圆C交于P、Q、M、N四点. (1)求椭圆C的标准方程；(2)若，探究：直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由解(1)由题意知，解得故椭圆的方程为1(2)，S、T分别为MN、PQ的中点当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线l1的方程为yk(x1)，则直线l2的方程为y(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立得(2k21)x24k2x2k240，24k2160，x1x2，x1x2，PQ中点T的坐标为；同理，MN中点S的坐标为，kST，直线ST的方程为y，即y，直线ST过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为y0，也过点；综上所述，直线ST过定点
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