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课时跟踪检测（四） 曲线与方程 求曲线的方程层级一学业水平达标1已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上解析：选B将点M(2,1)的坐标代入方程知Ml，MC2方程xy2x2y2x所表示的曲线()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D关于xy0对称解析：选C同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称3方程x|y1|0表示的曲线是()解析：选B方程x|y1|0可化为|y1|x0，则x0，因此选B4已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：选B设点P的坐标为(x，y)，则(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|4，|，4(x2)根据已知条件得4 4(2x)整理得y28x点P的轨迹方程为y28x5已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240解析：选B由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，线段AB的长度|AB|5设C的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y2406方程x22y24x8y120表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20(x2)20,2(y2)20，解得从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P满足12，则点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，则(2x，y)，(2x，y)于是(2x)(2x)y212，化简得x2y216，此即为所求点P的轨迹方程答案：x2y2168已知点A(0，1)，当点B在曲线y2x21上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y02x1又M为AB的中点，所以即将其代入y02x1得，2y12(2x)21，即y4x2答案：y4x29在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且4，求动点P的轨迹方程解：由已知得M(0，y)，N(x，y)，则(x，2y)，故(x，y)(x，2y)x22y2，依题意知，x22y24，因此动点P的轨迹方程为x22y2410已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0)因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0又点M在圆C上，所以xy4，即x24(y0)所以动点Q的轨迹方程是1(y0)层级二应试能力达标1已知点O(0,0)，A(1，2)，动点P满足|PA|3|PO|，则点P的轨迹方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：选A设动点P(x，y)，则由|PA|3|PO|，得3化简，得8x28y22x4y50故选A2下列四组方程表示同一条曲线的是()Ay2x与yBylg x2与y2lg xC1与lg(y1)lg(x2)Dx2y21与|y|解析：选D根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是1,1，且化简后的解析式相同，所以D正确故选D3方程y对应的曲线是()解析：选A将y平方得x2y24(y0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A4已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为()ABC或D或解析：选C将点P的坐标代入曲线(x2)2y23中，得(cos 2)2sin23，解得cos 又02，所以或故选C5方程|x1|y1|1表示的曲线所围成的图形的面积是_解析：方程|x1|y1|1可写成或或或其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2答案：26给出下列结论：方程1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2；方程(x24)2(y24)20表示四个点其中正确结论的序号是_解析：对于，方程1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线且除掉点(2,0)，所以错误；对于，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2或y2，所以错误；对于，方程(x24)2(y4)20表示点(2,2)，(2，2)，(2，2)，(2,2)四个点，所以正确故填答案：7已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|4，点A到直线l的距离为3，求ABC外心的轨迹方程解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)设ABC的外心为P(x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上，所以不妨令B(x2,0)，C(x2,0)又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|PB|，即，化简得x26y50于是ABC外心的轨迹方程为x26y508已知两点P(2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：yx，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程解：设A(m，m)，B(m1，m1)，当m2且m1时，直线PA和QB的方程分别为y(x2)2和yx2由消去m，得x2y22x2y80当m2时，直线PA和QB的方程分别为x2和y3x2，其交点为(2，4)，满足方程x2y22x2y80当m1时，直线PA和QB的方程分别为y3x4和x0，其交点为(0，4)，满足方程x2y22x2y80综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2y22x2y80
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