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3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域学习目标1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示知识点一二元一次不等式(组)的概念1含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式2由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组3满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解4所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集知识点二二元一次不等式表示的平面区域1在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0(或0(或1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x1右侧()3点(1,2)不在2xy10表示的平面区域内()4.表示的平面区域为第一象限()题型一二元一次不等式解的几何意义例1已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_答案(7,24)解析点(3,1)和(4,6)必有一个是3x2ya0的解，另一个点是3x2ya0的解或即(3321a)3(4)26a0，(a7)(a24)0，解得7a24反思感悟对于直线l：AxByC0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，则Ax2By2C0，即同侧同号，异侧异号跟踪训练1经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解由题意知直线l的斜率存在，设为k则可设直线l的方程为kxy10，由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k1)(2k2)0，所以1k1题型二二元一次不等式(组)表示的平面区域命题角度1给不等式画平面区域例2画出不等式x4y4表示的平面区域解先作出边界x4y4，因为这条线上的点都不满足x4y4，所以画成虚线取原点(0,0)，代入x4y4，因为040440，所以原点(0,0)在x4y40表示的平面区域内，所以不等式x4y4表示的平面区域在直线x4y4的左下方所以x4y0表示的平面区域在直线x2y60的()A右上方B右下方C左上方D左下方答案B解析在平面直角坐标系中画出直线x2y60，观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x2y6，得00660，所以原点(0,0)在不等式x2y60表示的平面区域内，故选B命题角度2给不等式组画平面区域例3画出下列不等式组所表示的平面区域(1)(2)解(1)x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域；xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方的区域；x0表示y轴及其右边区域；y0表示x轴及其上方区域综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示(2)xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域；2xy1，即2xy10，表示直线2xy10上及右上方的区域；xy2表示直线xy2左下方的区域综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示反思感悟在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤：画线；定侧；求“交”；表示但要注意是否包含边界跟踪训练3画出|x|y|1表示的平面区域解当x0且y0时，|x|y|1，即xy1.由可画出区域如图(1)图(1)图(2)若点(x，y)满足|x|y|1则点(x，y)，(x，y)也满足|x|y|1|x|y|1表示的平面区域关于x轴，y轴对称|x|y|1表示的平面区域如图(2)题型三求区域面积例4在平面直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域的面积解在平面直角坐标系中，作出xy20，xy20和x2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示，所以面积为S424反思感悟求平面区域的面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解跟踪训练4不等式组所表示的平面区域的面积等于()ABCD答案C解析作出平面区域如图所示为ABC，由可得A(1,1)，又B(0,4)，C，SABC|BC|xA|1，故选C数形结合的魅力典例我们可以验证点(1,2)是不等式xy6的一个解怎么证明直线xy6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是xy6的解？证明设点A(x0，y0)位于直线xy6左上方区域，则过点A作直线ABy轴，交直线xy6于点B设B(x0，y1)，则有y0y1B在直线xy6上，x0y16由y0y1，得y0y1，x0y0x0y16即点(x0，y0)满足不等式xy6xy6左上方半平面区域任一点均是xy6的解素养评析提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y0y1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力1不在不等式3x2y6表示的平面区域内的一个点是()A(0，0) B(1，1)C(0，2) D(2，0)答案D解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x2y6表示的平面区域内，故选D2已知点(1，2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是()A(1，6)B(6，1)C(，1)(6，)D(，6)(1，)答案A解析由题意知，(32a)(93a)0，即(a1)(a6)0，1a2x解(1)画出直线x2y40，020440，x2y40表示的区域为含(0，0)的一侧(包含边界)，因此所求的平面区域为如图所示的区域，包括边界(2)画出直线y2x0，02120(即y2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求的平面区域为如图所示的区域，不包括边界4(1)画出表示的平面区域；(2)画出(y2x)(x2y4)0表示的平面区域解1二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域2画边界直线画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号)3特殊点定域确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧简记为“直线定界，特殊点定域”一、选择题1在3x5y4表示的平面区域内的一个点是()A(2,0) B(1,2) C(1,1) D(1,1)答案D解析将点(1,1)代入3x5y4，得24，所以点(1，1)在不等式3x5y4表示的平面区域内，故选D.2点A(2，b)不在平面区域2x3y50内，则b的取值范围是()AbBb1CbDb9答案C解析依题意，点A(2，b)满足2x3y50，2(2)3b50，即b.3不等式组表示的平面区域内整点(横坐标、纵坐标都是整数的点)的个数是()A2B4C6D8答案C解析画出可行域后(图略)，可按x0，x1，x2，x3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共6个4下列选项中与点(1,2)位于直线2xy10的同一侧的是()A(1,1) B(0,1) C(1,0) D(1,0)答案D解析212110，点(1,2)位于2xy10表示的平面区域内，而四个点(1,1)，(0,1)，(1,0)，(1,0)中只有(1,0)满足2xy10.5已知点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)答案B解析因为点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，所以3(3)2(1)a342(6)a0，即(a7)(a24)0，解得7a2.又阴影部分在直线x0左边，且包含直线x0，故可得不等式x0.由图象可知，第三条边界线过点(2,0)，点(0,3)，故可得直线3x2y60，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分内，故可得不等式3x2y60.观察选项可知选C.7不等式组表示的平面区域的面积等于()A28B16C.D121答案B解析作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，3)，(3,5)，(1,1)，所以其面积S8416.8不等式组表示的平面区域是一个()A三角形B直角梯形C梯形D矩形答案C解析在同一坐标系中画出直线xy50及xy0，取点(0,1)，代入(xy5)(xy)中，得(15)140，可知点(0,1)在不等式(xy5)(xy)0表示的区域内，再画出直线x0和x3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形二、填空题9.如图所示的区域用不等式可表示为_.答案5x2y100解析过(2,0)，(0,5)的直线方程为1，即5x2y100.代入(0,0)得5020100，(0,0)所在区域为5x2y100.10(2018柯桥区期末)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_答案解析作出不等式组对应的平面区域如图所示，则对应区域为三角形ABC，其中A(0,2)，B(1,2)，C(1,1)，则ABC的面积S11.11记不等式组所表示的平面区域为D，若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_答案解析不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直线ya(x1)恒过定点P(1,0)，且斜率为a.由斜率公式可知kAP，kBP4.若直线ya(x1)与区域D有公共点，由数形结合可得a4.三、解答题12画出下列不等式表示的平面区域(1)3xy0；(2)y2x3.解(1)画出直线3xy0(画成虚线)，将点(1,0)代入3xy，得3100，所以不等式3xy0表示的平面区域与点(1,0)位于直线3xy0的同侧，如图所示(2)将y2x3变形得2xy30，先画出直线2xy30(画成实线)将点(0,0)代入2xy3得30表示的平面区域内，则b的取值范围是_答案解析P(1，2)关于(0,0)的对称点为(1,2)，依题意有或所以b或b.
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