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2.2.1平面向量基本定理课时过关能力提升1.已知命题“若k1a+k2b=0,则k1=k2=0”是真命题,则下面对a,b的判断正确的是()A.a与b一定共线B.a与b一定不共线C.a与b一定都为0D.a与b中至少有一个为0解析:由平面向量基本定理知a与b一定不共线.答案:B2.在ABCD中,AC与BD交于点M.若设AB=a,AD=b,则以下各选项中,与-a+b相等的向量有()A.MAB.MBC.MCD.MD解析:- a+b= (b-a)=12BD=MD.答案:D3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=e1+e2(R)与b=-(e2-2e1)共线,则()A.=0B.=-1C.=-2D.=-解析:由已知得存在实数k使a=kb,即e1+e2=-k(e2-2e1),于是1=2k且=-k,解得=-.答案:D4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=()A. a+bB. a+bC. a+bD. a+b答案:D5.设O,A,M,B为平面上四点,OM=OB+(1-)OA,且(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线解析:由OM=OB+(1-)OA,得OM-OA=(OB-OA),即AM=AB.又因为(1,2),所以点B在线段AM上.答案:B6.若AD与BE分别为ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC等于()A. a+bB. a+bC. a-bD.- a+b解析:设AD与BE交于点F,则AF=23a,BF=23b.由AB+BF+FA=0,得AB=23(a-b),所以BC=2BD=2(AD-AB)=23a+43b.答案:B7.设e1,e2为一组基底,a=-e1+2e2,b=e1-e2,c=3e1-2e2,以a,b为基底将c表示为c=pa+qb,则实数p,q的值分别为.解析:c=pa+qb,即3e1-2e2=(-pe1+2pe2)+(qe1-qe2)=(q-p)e1+(2p-q)e2,q-p=3,2p-q=-2,p=1,q=4.答案:1,48.如图,在ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+211AC,则实数m的值为.解析:由AN=13NC,得AN=14AC.设BP=nBN,所以AP=AB+BP=AB+nBN=AB+n(AN-AB)=(1-n)AB+14nAC=mAB+211AC.由14n=211,得m=1-n=311.答案:3119.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,1),B(-1,2),若点C满足OC=OA+OB,其中,R,且+=1,则点C的轨迹方程为.解析:由+=1,可知点C的轨迹是直线AB,通过直线的两点式求解直线AB的方程即可.答案:x+2y-3=010.如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM.解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M与B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2,而BA=BC+CA=2e1+3e2,由平面向量基本定理,得+2=2,3+=3.=45,=35.AP=45AM,APPM=41.11.如图,在ABC中,AB=a,AC=b,AP=c,AD=a(01),AE=b(01),试用a,b表示c.分析首先利用共线,假设BP=mBE和CP=nCD,再根据向量减法的三角形法则,求出AP(用a,b,m,n,表示),再借助解方程,从而得出用a,b表示c.解:BP与BE共线,CP与CD共线,假设BP=mBE,CP=nCD,BP=mBE=m(AE-AB)=m(b-a).AP=AB+BP=a+m(b-a)=(1-m)a+mb.CP=nCD=n(AD-AC)=n(a-b).AP=AC+CP=b+n(a-b)=na+(1-n)b.由,得(1-m)a+mb=na+(1-n)b.a与b不共线,1-m=n,m=1-n,即n+m-1=0,n+m-1=0.解得m=1-1-,n=1-1-.代入式,得c=(1-m)a+mb=1-1-1-a+1-1-b=11-(1-)a+(1-)b.12.如图,在ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于点F.MHAF交BC于点H,求证:HF=BH=FC.证明设BM=a,MH=b,则BH=a+b,HF=HB+BA+AF=-BH+2BM+2MH=-a-b+2a+2b=a+b,FC=FE+EC=12HM+ME=-12MH+MA+AE=-12b+BM+AF-EF=-12b+a+2MH-12MH=-12b+a+2b-12b=a+b.综上,得HF=BH=FC=a+b.所以HF=BH=FC.
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