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三排序不等式学习目标1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用知识点排序不等式思考1某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案(1)共有3216(种)不同的购买方案(2)53422125(元)，这种方案花钱最多；51422319(元)，这种方案花钱最少思考2如图，POQ60，比较与的大小答案梳理(1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a1a2an；b1b2bn，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任意一个排列乱序和：Sa1c1a2c2ancn.反序和：S1a1bna2bn1anb1.顺序和：S2a1b1a2b2anbn.(2)排序不等式(排序原理)设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和类型一利用排序不等式证明不等式例1已知a，b，c为正数，且abc，求证：.证明ab0，于是，又c0，从而，同理，从而.又顺序和不小于乱序和，故可得.原不等式成立反思与感悟利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组跟踪训练1已知0abc，求证：.证明因为0abc，所以0abcabc，所以0，又0a2b2c2，所以是顺序和，是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式成立例2已知a，b，c均为正数，求证：(abc)证明由不等式的对称性，不妨设abc0，所以a2b2c2，.由顺序和乱序和得到两个不等式：，.两式相加，得2，注意到(bc)，(ca)，(ab)，所以2(bc)(ca)(ab)abc.故(abc)反思与感悟对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据跟踪训练2设a，b，cR，利用排序不等式证明：a3b3c3.证明不妨设0abc，则a5b5c5，所以由排序不等式可得a3b3c3，a3b3c3，所以a3b3c3.类型二利用排序不等式求最值例3设a，b，c为任意正数，求的最小值解由于a，b，c的对称性，不妨设abc0，则abacbc，由排序不等式，得，上述两式相加，得23，即.当且仅当abc时，取最小值.反思与感悟求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值跟踪训练3设0abc且abc1.试求的最小值解令S，则Sbcacab.由已知可得，abacbc.Sacabbc.又Sabbcac，两式相加，得2S33.S，即的最小值为.1设a，b，c均为正数，且Pa3b3c3，Qa2bb2cc2a，则P与Q的大小关系是()APQBPQCPQDPQ答案B解析不妨设abc0，则a2b2c20.由排序不等式，得a2ab2bc2ca2bb2cc2a，当且仅当abc时，等号成立，所以PQ.2已知a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511.将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1a2c2a5c5的最大值是()A324B314C304D212答案C解析a1c1a2c2a5c5a1b1a2b2a3b3a4b4a5b52374869101211304.3n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为_答案n解析设0a1a2a3an，则0aaa，则由排序不等式得，反序和乱序和顺序和故最小值为反序和a1aa2aanan.4设a，b都是正数，求证：22.证明由题意不妨设ab0.则a2b2，所以.根据排序不等式知，即22.1对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了2排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小3排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1a2an或b1b2b3bn.4排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题一、选择题1有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz答案B解析根据排序原理，反序和最小，即azbycx最小2已知a，b，c0，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零B大于零或等于零C小于零D小于零或等于零答案B解析当abc1时，a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0，当a1，b2，c3时，a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)62.3设a，b，c都是正数，则式子Ma5b5c5a3bcb3acc3ab与0的大小关系是()AM0BM0CM与0的大小关系与a，b，c的大小有关D不能确定答案A解析不妨设abc0，则a3b3c3，且a4b4c4，则a5b5c5aa4bb4cc4ac4ba4cb4.a3b3c3，且abacbc，a4bb4cc4aa3abb3bcc3caa3bcb3acc3ab.a5b5c5a3bcb3acc3ab.M0.4在锐角三角形ABC中，设P，QacosCbcosBccosA，则P，Q的大小关系为()APQBPQCPQD不能确定答案C解析不妨设ABC，则abc，cosAcosBcosC，则由排序不等式有QacosCbcosBccosAacosBbcosCccosAR(2sinAcosB2sinBcosC2sinCcosA)，QacosCbcosBccosAbcosAccosBacosCR(2sinBcosA2sinCcosB2sinAcosC)，上面两式相加，得QacosCbcosBccosAR(2sinAcosB2sinBcosA2sinBcosC2sinCcosB2sinCcosA2sinAcosC)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sinCsinAsinB)P.5设a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则E，F的大小关系是()AEFBEFCEFDEF答案B解析不妨设a1a2a30，则且a2a3a3a1a1a2，a1a2a2a3a3a1a1a2a3.EF.6已知xy，Mx4y4，Nx3yxy3，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMNDMN答案B解析xy，x3y3.Mxx3yy3x3yy3xx3yy3xN.二、填空题7已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c12c23c3的最大值是_，最小值是_答案3228解析由反序和乱序和顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.85个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为_min.答案84解析5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min，10 min的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4554638210184(min)9在RtABC中，C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aAbB与(ab)的大小关系为_答案aAbB(ab)解析不妨设ab0，则AB0，由排序不等式2(aAbB)a(AB)b(AB)(ab)，aAbB(ab)10设a1，a2，an为正数，且a1a2an5，则的最小值为_答案5解析由所求代数式的对称性，不妨设0a1a2an，所以aaa，而，为，的一个排列，由乱序和反序和，得aaaaaaa，即a1a2an5.三、解答题11设a，b，c(0，)，利用排序不等式证明：a2ab2bc2cabcbcacab.证明不妨设abc0，则lg alg blg c，所以alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，所以2alg a2blg b2clg c(bc)lg a(ac)lg b(ab)lg c，所以lg(a2ab2bc2c)lg(abcbaccab)，故a2ab2bc2cabcbcacab.12设a1，a2，an是n个互不相等的正整数，求证：1a1.证明设b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排列，且满足b1b2bn.因为b1，b2，bn是互不相等的正整数，故b11，b22，bnn.又因为1，故由排序不等式，得a1b11123n1.13已知0，求证：sincossincossincos(sin2sin2sin2)证明0，且ysinx在上为增函数，ycosx在为减函数，0sinsinsin，coscoscos0.sincossincossincossincossincossincos(sin2sin2sin2)四、探究与拓展14设x，y，z为正数，求证：xyz.证明由于不等式关于x，y，z对称，不妨设0xyz，于是x2y2z2，由反序和乱序和，得x2y2z2x2y2z2，x2y2z2x2y2z2，将上面两式相加得2(xyz)，于是xyz.15设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明(1)当x1时，1xx2xn.由排序原理知，11xxx2x2xnxnxn1xn1x1xn，所以1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn,1为1，x，x2，xn的一个排序，于是由排序原理得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，所以xx3x2n1nxn.，得1xx2x2n(2n1)xn.(2)当0x1时，1xx2xn，同理可得结论综合(1)与(2)可知，当x0时，1xx2x2n(2n1)xn.
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