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课时分层作业 八对 数 函 数一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数y=的定义域是()A.(-,2)B.(2,+)C.(2,3)(3,+)D.(2,4)(4,+)【解析】选C.因为所以x2且x3.【变式备选】(2018开封模拟)函数y=的定义域是()A.1,2B.1,2)C.D.【解析】选C.由即解得x.2.(2018许昌模拟)已知集合P=x|y=ln(3-2x),则PN的子集的个数为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.由3-2x0,解得:x,故PN=0,1,故子集的个数是4个.3.(2018北京模拟)已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为()A.24B.16C.12D.8【解析】选A.因为32+log230,a1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0a-1b1B.0ba-11C.0b-1a1D.0a-1b-11.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图象可知-1logab0,解得b1.综上有0b1.【变式备选】若函数f(x)=ax-1的图象经过点(4,2),则函数g(x)=loga的图象是()【解析】选D.由题意可知f(4)=2,即a3=2,a=.所以g(x)=lo=-lo(x+1).由于g(0)=0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5.(2018武威模拟)设函数f(x)=-log2x,且f(a)=0,若0b0B.f(b)=0C.f(b)0D.f(b)0【解析】选A.由指数函数和对数函数的单调性可知f(x)=-log2x在(0,+)上单调递减,f(a)=0,所以若0bf(a)=0.6.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,+)B.(-,1)C.(1,+)D.(0,1【解析】选D.在x(-,0时,f(x)是增函数,值域为(0,1,在x(0,+)时,f(x)是减函数,值域是(-,+),因此方程f(x)=k有两个不等实根,则有k(0,1.7.(2017全国卷)函数f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)【解析】选D.函数有意义,则x2-2x-80,解得:x4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+).【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是没有注意函数的定义域,误选答案C;二是对复合函数的单调性求解错误,错选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018湘潭模拟)已知函数f(x)=ln,若f(a)+f(b)=0,且0ab1,则ab的取值范围是_.【解析】依题设可知:ln+ln=0,即ln=0,从而=1,化简得:a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-+baB.bcaC.abcD.bac【解析】选B.因为x(e-1,1),a=ln x,所以a(-1,0),即a=1,即b1;又c=eln x=x(e-1,1),所以bca.2.(5分)若直线x=m(m1)与函数f(x)=logax,g(x)=logbx的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若|AB|=2|BC|,则()A.b=a3或a=b3B.a=b-1或a=b3C.a=b-1或b=a3D.a=b3【解析】选C.由题意可知A(m,logam),B(m,logbm),C(m,0),因为|AB|=2|BC|,所以logam=3logbm或logam=-logbm,所以logmb=3logma或logma=-logmb,所以,b=a3或a=b-1.【变式备选】(2018衡阳模拟)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(-,-2)B.(-,0)C.(2,+)D.(0,+)【解析】选A.由x2-40得(-,-2)(2,+),令t=x2-4,由于函数t=x2-4的对称轴为y轴,开口向上,所以t=x2-4在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,又由函数y=lot是定义域内的减函数,所以原函数在(-,-2)上递増.3.(5分)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为_.【解析】因为a-b=-=0.a-c=-=0,所以bac.答案:bac【一题多解】本题还有如下解法:方法一:变形a=,则a表示函数y=ln x图象上的点(2,ln 2)与点(0,0)连线的斜率,同理b表示点(3,ln 3)与(0,0)连线的斜率,c表示点(5,ln 5)与(0,0)连线的斜率.作出y=ln x的图象,观察即可得出bac.答案:bac方法二:构造函数y=,y=,显然当x(0,e)时,y0,y单调递增;当x(e,+)时,yac.答案:bac4.(12分)已知函数f(x)=lg,其中x(-4,4).(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性.(2)判断并证明函数f(x)在(-4,4)上的单调性.【解析】(1)f(-x)=lg=-lg=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)任取x1,x2(-4,4),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=lg-lg=lg=lg.因为x1-4(x2-x1),又4+x10,4-x20,所以(4+x1)(4-x2)0.因为16+4(x2-x1)-x1x216-4(x2-x1)-x1x20,所以1,lg0,即f(x1)-f(x2)0,所以f(x)在(-4,4)上是减函数.5.(13分)已知函数f(x)=+ln. (1)求证:存在定点M,使得函数f(x)图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上,并求出点M的坐标.(2)定义=f+f+f,其中nN*且n2,求S2 018.【解析】(1)显然函数定义域为(0,1),设点M的坐标为(a,b),则f(x)+f(2a-x)=+ln+ln=1+ln=2b对于x(0,1)恒成立,于是解得a=b=,所以存在定点M,使得函数f(x)图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上.(2)由(1)得f(x)+f(1-x)=1,因为Sn=f+f+f+f()(i)所以Sn=f+f+f+f()(ii)(i)+(ii),得2Sn=n-1,所以Sn=(n2,nN*),故S2 018=.
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