浙江专用2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程讲义含解析.docx

9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180).2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)不含直线xx1和直线yy1截距式1(ab0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角0，)，当时，斜率k不存在；因为ktan.当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当(0，)且时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()题组二教材改编2.P86T3若过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A解析由题意得1，解得m1.3.P100A组T9过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.5.如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l：yx上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为.答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线xsiny20的倾斜角的范围是()A.0，) B.C.D.答案B解析设直线的倾斜角为，则有tansin，又sin1，1，0，)，所以0或.(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为.答案(，1，)解析如图，kAP1，kBP，k(， 1，).引申探究1.若将本例(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180).思维升华 (1)倾斜角与斜率k的关系当时，k0，).当时，斜率k不存在.当时，k(，0).(2)斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan求斜率.公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率.(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan的单调性.跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A.1或0B.或0C.D.或0答案A解析平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故选A.(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是.答案解析直线l的斜率k1m21，所以ktan1.又ytan在上是增函数，因此.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的；(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.解(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|5，即x1为所求.设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行).则B点坐标为.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，因为sin(00，b0，直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以1.(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.1.(2018浙江省东阳中学期中)下列四条直线中，倾斜角最大的是()A.yx1B.y2x1C.yx1D.x1答案C解析直线方程yx1的斜率为1，倾斜角为45，直线方程y2x1的斜率为2，倾斜角为(600，b0时，a0，b0，所以A，B(0，12k)，故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.13.过点A(3，1)且在两坐标轴上截距相等的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为xya，把(3，1)代入所设的方程得a2，则所求直线的方程为xy2，即xy20；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为ykx，把(3，1)代入所设的方程得k，则所求直线的方程为yx，即x3y0.综上，所求直线的方程为xy20或x3y0，故选B.14.设点A(2，3)，B(3，2)，若直线axy20与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，kMA，kMB，结合题意可知a，且a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，求的最小值.解动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，abmc30.又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0.ac3.则(ac)，当且仅当c2a2时取等号.的最小值为.