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6.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模长以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|概念方法微思考1a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同因为a在b方向上的投影为|a|cos，而b在a方向上的投影为|b|cos，其中为a与b的夹角2两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定当夹角为0时，数量积也大于0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，则a和b的夹角为钝角()题组二教材改编2P105例4已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.答案12解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3P106T3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos4cos1202.题组三易错自纠4已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案2解析方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.5已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为_答案解析(2,1)，(5,5)，由定义知，在方向上的投影为.6已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_.答案解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，abbcac11cos120，abbcac.题型一平面向量数量积的基本运算1已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于()A8B10C11D12答案D解析a(x,1)，b(2,4)，ab(x2,5)，又(ab)b，(x2)(2)200，x12.2(2018全国)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)等于()A4B3C2D0答案B解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.3(2012浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.答案16解析如图所示，()()22|2|292516.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解题型二平面向量的模例1 (1)(2018浙江五校联考)如图，已知在平行四边形ABCD中，E，M分别为DC的两个三等分点，F，N分别为BC的两个三等分点，且25，43，则|2|2等于()A45B60C90D180答案C解析设a，b，依题意得ab，ab，ab，ab，25，43，即a2b245，|2|2|ab|2|ba|2(ab)2(ba)22(a2b2)90.故选C.(2)(2017浙江)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_答案42解析设a，b的夹角为，|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y.则y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,2思维升华计算平面向量模的方法利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|.跟踪训练1 (1)(2014浙江)设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1，则()A若确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定答案B解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cost|b|2.因为|bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin1，即|b|.即确定，|b|唯一确定(2)(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)已知向量a，b满足|ab|a3b|2，则|a|的取值范围是_答案1,2解析方法一设abm，a3bn，则a(3mn)，b(nm)，因为|m|n|2，所以16a2(3mn)29m2n26mn944622cos4024cos，其中为向量m，n的夹角，cos1,1，4024cos16,64，即a21,4，所以|a|的取值范围是1,2方法二由|ab|2得a2b22ab4，由|a3b|2得a29b26ab4，所以a23b24，b2ab0，设向量a，b的夹角为，所以|b|a|cos，cos0,1，所以|b|a|，a23b24a2，即4a24，所以|a|1，又a24，所以1|a|2，故|a|的取值范围是1,2题型三平面向量的夹角例2 (1)(2018浙江高考适应性考试)若向量a，b满足|a|4，|b|1，且(a8b)a，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.答案C解析由(a8b)a，得|a|28ab0，因为|a|4，所以ab2，所以cosa，b，所以向量a，b的夹角为，故选C.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_答案解析由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos60，解得.思维升华求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos，的取值范围为0，(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos.(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中跟踪训练2(1)(2011浙江)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_答案解析由题意知S|sinsin，0，.(2)(2018浙江金华名校统考)已知向量a，b是夹角为的单位向量，当实数1时，向量a与向量ab的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析根据向量a，b是夹角为的单位向量，画出图形，如图所示，设a，b，AOB，当1时，ab，此时a与ab的夹角为AOD；当1时，ab，此时a与ab的夹角为AOF，且AODAOFAOE，即AOF0”是“a与b的夹角为锐角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义式可知，若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0，所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2(2018台州调研)已知向量a(2,1)，b(1,3)，则向量2ab与a的夹角为()A135B60C45D30答案C解析由题意可得2ab2(2,1)(1,3)(3，1)，则|2ab|，|a|，且(2ab)a(3，1)(2,1)615，设所求向量的夹角为，由题意可得cos，则向量2ab与a的夹角为45.3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且ab(，)，则|2ab|等于()A2B.C.D2答案A解析根据题意，|ab|，则(ab)2a2b22ab52ab5，可得ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，则2，故选A.4(2018宁波质检)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则等于()A.B.C.D.答案B解析由|，化简得0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以，所以.5已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为()A1B1CD.答案D解析由题意可得|a|b|1，且ab|a|b|cos60，a(ab)a2ab1，则向量ab在向量a方向上的投影为.故选D.6(2018温州“十五校联合体”联考)已知向量a，b的夹角为，|ab|6，|ab|2，则的取值范围是()A0B.C.D0答案A解析由|ab|6，得|a|22ab|b|236，由|ab|2，得|a|22ab|b|212，由得|a|2|b|224，且ab6，从而有cos，又0，故0.7若平面向量a，b满足b7，|a|，|b|2，则向量a与b的夹角为_答案解析(ab)babb27，ab7b23.设向量a与b的夹角为，则cos.又0，即向量a与b的夹角为.8已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_答案解析a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，则解得或0，所以的取值范围是.9(2018浙江名校协作体试题)已知在ABC中，AB3，BC，AC2，且O是ABC的外心，则_，_.答案2解析因为O是ABC的外心，所以向量在向量上的投影1，向量在向量上的投影为，所以2，所以2.10(2018温州市高考适应性测试)若向量a，b满足(ab)2b2|a|3，且|b|2，则a在b方向上的投影的取值范围是_答案解析由(ab)2b2|a|3，得(ab)2b2|a|22ab|b|2|b|292ab3，解得ab3，又因为|b|2，则向量a在向量b方向上的投影为.11已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos.又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求()的最小值解方法一设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222.方法二以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取最小值，为2.13(2018浙江名校联盟联考)已知在ABC中，AB4，AC2，ACBC，D为AB的中点，点P满足，则()的最小值为()A2BCD答案C解析由知点P在直线CD上，以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,2)，B(2，0)，C(0,0)，D(，1)，直线CD的方程为yx， 设P，则，()x(22x)x2xx2x2，当x时，()取得最小值.14(2018杭州质检)记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|b|abc(a2b2c)2.则()A|ac|maxB|ac|maxC|ac|minD|ac|min.答案A解析由题意，建立平面直角坐标系(图略)，不妨取a(2,0)，b(1，)，则a2b(4,2)设c(x，y)，由c(a2b2c)2得(x1)22，即c对应的点在以为圆心，为半径的圆上，则|ac|max.故选A.15已知，是非零不共线的向量，设，定义点集A，当F1，F2A时，若对于任意的m3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式k恒成立，则实数k的最小值为_答案解析由(m3)，可得P，Q，M三点共线，且(m1)m，即mm，即m，所以m，由A，可得cosPFMcosQFM，即PFMQFM，则FM为PFQ的角平分线，由角平分线的性质定理可得m，以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则P，Q，F(x，y)，于是m，化简得2y22，故点F(x，y)是以为圆心，为半径的圆要使得不等式对m3恒成立，只需2k，即k对m3恒成立，k.16(2019嘉兴质检)已知|c|2，向量b满足2|bc|bc.当b，c的夹角最大时，求|b|的值解设b，c，则BOC即向量b，c的夹角，bc.由2|bc|bc，可知2|2|cosBOC，从而cosBOC0.若|0，则BOC0，不符合题意；若|0，则BOC为锐角，设OBm，BCn，则cosBOC，在OBC中，由余弦定理可知cosBOC，所以，即m2n24n4，从而cos2BOC，所以当n2时，cos2BOC取得最小值，BOC取得最大值，为，此时|b|m2.
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