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第一节 不等关系与不等式1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0 (nN，n2)小题体验1(教材习题改编)用不等号“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_.答案：(1)(2)(3)2.，的大小关系为_答案：3已知a0，1b0，则a，ab，ab2的大小关系是_(用“”连接)解析：由1b0，可得bb21.又a0，abab2a.答案：abab2a1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如ab，bcac.2在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c0时，有abac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)小题纠偏1设a，b，cR，且ab，则()Aacbc B. Ca2b2 D. a3b3答案：D2“ab0”是“”的_条件答案：充分不必要题组练透1已知pa，qx22，其中a2，xR，则p，q的大小关系是()ApqBpqCpqDpq解析：选A因为a2，所以paa22224，当且仅当a3时取等号因为x222，所以qx2224，当且仅当x0时取等号所以pq.2若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：3已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_解析：当q1时，3，5，所以.当q0且q1时，0，所以.综上可知.答案：谨记通法比较两实数(式)大小的2种常用方法作差法其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法作商法判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤典例引领1若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析：选B因为cd0，所以cd0，所以0.又ab0，所以，所以.故选B.2设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A(ab)a20，则必有ab0，即ab；而ab时，不能推出(ab)a20，如a0，b1，所以“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件由题悟法不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法即时应用1若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2 Babb2Cab0 D|a|b|ab|解析：选D0，ba0，b2a2，abb2，ab0，选项A、B、C均正确，ba0，|a|b|ab|，故D项错误，故选D.2若a，b，c为实数，则下列命题正确的是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，则a2abb2C若ab0，则D若ab0，则解析：选BA选项需满足c0；取a2，b1知选项C、D错误故选B.典例引领1(2018嘉兴期末)已知1xy4,2xy3，则3x2y的取值范围是_解析：设3x2ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，所以mn3，mn2，解得m，n，所以3x2y (xy)(xy)，由1xy4，得(xy)10，由2xy3，得1(xy)，上述不等式相加得(xy)(xy)，所以 3x2y.答案：2已知1lg xy4，1lg2，求lg的取值范围解：由1lg xy4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg5，即lg 的取值范围是1,5类题通法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围即时应用1若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A9,18B(15,30)C9,30 D(9,30)解析：选Db2a，ab3a，即c3a.6a10，9c30.故选D.2若13，42，则|的取值范围是_解析：42，0|4，4|0.3|3.答案：(3,3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()AABBABCAB DAB解析：选B由题意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.2若ab0，则下列不等式不能成立的是()A. B.C|a|b| Da2b2解析：选A取a2，b1，则不成立3(2018浙江十校联盟适考)设a0且a1，则“ab1”是“(a1)b0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若ab1，因为a0且a1，所以当0a1时，b0，此时(a1)b0成立；当a1时，b0，此时(a1)b0成立若(a1)b0，因为a0且a1，所以当0a1时，b0，此时ab1；当a1时，b0，此时ab1.所以“ab1”是“(a1)b0”的充要条件4(2018金华模拟)设a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aba0 Ba3b30Ca2b20 Dba0解析：选D利用赋值法，令a1，b0，排除A、B、C，选D.5b g糖水中有a g糖(ba0)，若再添m g糖(m0)，则糖水变甜了试根据这一事实，提炼出一个不等式_答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMN BM NCMN D不确定解析：选BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.M N.2若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式的序号是()A BC D解析：选C法一：因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以，故正确；中，因为ba0，所以ba0，故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确3(2018宁波模拟)设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选A因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立4若m0，n0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：选D法一：(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立5设a0，b0，则p与qab的大小关系是()Apq BpqCpq Dpq解析：选Dpq(ab).因为a0，b0，所以0，即pq，故选D.6已知a，b为实数，且ab，a0，则a_2b(填“”“”或“”)解析：ab，a0，a0，a2b.答案：7已知函数f(x)axb,0f(1)2，1f(1)1，则2ab的取值范围是_解析：由函数的解析式可知0ab2，1ab1，又2ab(ab)(ab)，结合不等式的性质可得2ab.答案：8已知ab0，则与的大小关系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：9已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b，即此式无解综上可得实数b的取值范围为(，1)答案：(，1)10实数x，y满足3xy28，求的取值范围解：，49，216,81又3xy28.，22,27，故的取值范围为2,27三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018合肥质检)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()A(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得两式相加得，024，的取值范围为(0,2)2设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若mn2，pq2，则()Amn4且pq4 Bmn4且pq4Cmn4且pq4 Dmn4且pq4解析：选A结合定义及mn2可得或即nm2或mn2，所以mn4；结合定义及pq2可得或即qp2或pq2，所以pq4.故选A.3设a1，a21.(1)证明：介于a1，a2之间；(2)求a1，a2中哪一个更接近.解：(1)证明：(a1)(a2)(a1)0.介于a1，a2之间(2)|a2|a1|a1|.a2比a1更接近.
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