（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 1 第一节 弧度制及任意角的三角函数课件.ppt

第一节弧度制及任意角的三角函数 1 角的概念的推广 2 弧度制的定义和公式 3 任意角的三角函数 教材研读 考点一角的概念及其表示 考点二扇形的弧长 面积公式 考点突破 考点三三角函数线的应用 考点四三角函数的定义 1 角的概念的推广 1 定义 角可以看成是平面内的一条射线绕着它的 端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 2 分类 教材研读 3 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合S k 360 k Z 2 弧度制的定义和公式 1 定义 把长度等于 半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 弧度记作rad 2 公式 3 任意角的三角函数 三角函数值的符号的记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 1 教材习题改编 下列命题正确的是 只填序号 1 第一象限角一定不是负角 2 小于90 的角一定是锐角 3 钝角一定是第二象限角 4 第一象限角一定是锐角 答案 3 解析 330 是第一象限角 也是负角 1 错误 负角都小于90 但不是锐角 2 错误 钝角一定是第二象限角 3 正确 330 是第一象限角 但不是锐角 4 错误 2 2018盐城伍佑中学期末 已知扇形的半径为3cm 圆心角为2弧度 则扇形的面积为cm2 答案9 3 教材习题改编 若 与120 角终边相同 则是第象限角 答案一或三 解析由 与120 角终边相同 得 120 k 360 k Z 则 60 k 180 k Z 当k为奇数时 为第三象限角 当k为偶数时 为第一象限角 4 教材习题改编 终边落在阴影部分的角的集合 包括边界 为 答案 5 2018常州教育学会学业水平检测 若 则点P tan sin 位于第象限 答案二 解析由0 则点P在第二象限 6 教材习题改编 若角 的终边经过点P x 6 且cos 则x 答案 解析由题意可得cos 解得x 考点一角的概念及其表示典例1已知角 回答下列问题 1 写出所有与角 终边相同的角 2 写出在 4 2 内与角 终边相同的角 3 若角 与 终边相同 则角是第几象限角 考点突破 解析 1 所有与角 终边相同的角可表示为 2k k Z 2 由 1 知 可令 4 2k 2 k Z 则有 k k Z k Z k 2 1 0 且当k 0时 即为角 故在 4 2 内与角 终边相同的角有 3 由 1 知 2k k Z 则 k k Z 角是第一 三象限角 方法技巧 1 利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数赋值来求得所需角 2 利用终边相同的角的集合S 2k k Z 判断角 的终边所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍的和 然后判断角 的终边所在的象限即可 1 1 1 把1690 表示成2k 的形式 k Z 0 2 2 求 使 与1690 角的终边相同 且 4 2 解析 1 1690 1690 8 所以1690 4 2 2 由 1 知 与1690 角的终边相同的角为 2k k Z 由 4 2k 2 且k Z 得k 2 所以 4 考点二扇形的弧长 面积公式典例2已知一扇形的圆心角为 0 所在圆的半径为R 1 若 R 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 2 若该扇形的周长为一定值C C 0 当 为多少时 该扇形的面积最大 解析 1 设扇形的弧长为lcm 该弧所在的弓形的面积为Scm2 R 10cm l R 10 cm S 10 102 sin 25 cm2 2 易知C 2R l 2R R 0 R S扇形 R2 当且仅当 即 2时 该扇形的面积最大 为 方法技巧解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项 1 解决有关扇形的弧长和面积问题时 要注意角的单位 一般将角度化为弧度 2 求解扇形面积的最值问题时 常将其转化为二次函数的最值问题 利用配方法或不等式的性质使问题得到解决 3 在解决有关扇形的面积问题时 要合理地利用圆心角所在的三角形进行求解 2 1已知扇形AOB的周长为8 1 若这个扇形的面积为3 求圆心角的大小 2 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长 解析设扇形AOB的半径为r 弧长为l 圆心角为 1 由题意可得解得或则 或 6 2 2r l 8 S扇形 lr l 2r 4 当且仅当2r l 即 2时 这个扇形的面积取得最大值4 此时r 2 所求弦长AB 2sin1 2 4sin1 解析如图 过点作x轴的垂线 交单位圆于M N两点 则以射线OM ON为终边的角满足方程cos 而终边落入图中阴影部分内 不含边界 的角所组成的集合为不等式cos 的解集 又以射线OM ON为终边的角分别为2k k Z 2k k Z 故不等式cos 的解集为 k Z 考点三三角函数线的应用 典例3解不等式 cos 方法技巧解三角不等式时 要注意角的取舍 另外 终边在x轴下方的角在书写时往往用负角表示 3 1求符合下列条件的角的集合 1 sin 2 tan 1 解析 1 如图 过点作y轴的垂线 交单位圆于A B两点 则以射线OA OB为终边的角满足方程sin 终边落在图中阴影部分内 含边界 的角满足sin 又以射线OA OB为终边的角分别是2k k Z 2k k Z 所以所求角的集合为 k Z 2 如图 设单位圆与x轴的正半轴交于点A 过点A作垂直于x轴的直线l 在直线l上向y轴负方向取有向线段AT 使线段AT的长为1 过点O T作直线交单位圆于P1 P2两点 则以射线OP1 OP2为终边的角满足方程tan 1 图中阴影部分 不含边界 为满足不等式tan 1的角 的终边所在区域 又以射线OP1 OP2为终边的角分别为 2k k Z 2k k Z 所以所求角的集合为 k Z 考点四三角函数的定义 典例4 1 2018江苏海安中学月考 已知角 的终边经过点P x 6 且cos 则实数x的值为 2 在平面直角坐标系中 已知角的终边经过点P x y 且OP 2 O为坐标原点 则点P的坐标为 3 2018江苏镇江上学期期末 点Psin cos落在角 的终边上 且 0 2 则 的值为 答案 1 2 1 3 解析 1 角 的终边经过点P x 6 且cos x 2 由三角函数的定义得x 2cos 1 y 2sin 所以点P的坐标为 1 3 点P在角 的终边上 则tan 点P在第四象限 且 0 2 则 易错警示利用三角函数的定义 求一个角的三角函数值时 需确定三个量 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 纵坐标y 该点到原点的距离r 若题目中已知角的终边在一条直线 非坐标轴 上 则要注意在终边上任取一点有两种情况 点所在的象限不同 4 1 2019江苏盐城模拟 已知角 的终边上一点P y 且sin 求cos 和tan 的值 解析因为角 的终边上有一点P y 所以点P到原点的距离r 由三角函数的定义知 sin 解得y 0或y 当y 0时 r 则cos 1 tan 0 当y 时 r 3 则cos tan 当y 时 r 3 则cos tan 4 2已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解析 角 的终边在直线3x 4y 0上 设角 的终边上任意一个异于原点的点为P 4t 3t t 0 则x 4t y 3t r 5 t 当t 0时 r 5t sin cos tan 当t 0时 r 5t sin cos tan 综上可知 sin cos tan 或sin cos tan