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衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数 学 试 题第卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 若全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：解集合中的不等式，由元素，可知元素应为整数。求集合中元素。由补集的定义可求。详解：因为，又因为全集，由补集定义可得。所以选A。点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。意在考查学生的计算求解能力。2. 已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的运算由，变形得，根据复数除法法则计算，可得，进而得复数对应的点为（-1,-2），判断点所在象限。详解：因为满足，所以 。 所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。故选C。点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。意在考查学生的转化与计算求解能力。3. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：复合函数的函数值，先求里面的函数值，根据分段函数自变量的范围，先求，再求根据分段函数求。详解：因为，所以， 因为-10，所以 。 故选B。点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。 （2）复合函数求函数值，应遵循从内到外的原则，先求的函数值。 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。详解：对于选项A，若，则两直线可能平行、相交、异面，故A错； 对于选项B，若，则直线与平面可能平行、线在面内、相交，故B错；对于选项C，若，则两平面可能平行、相交，故C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。故选D。点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。5. 等比数列中，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】分析：用等比数列的基本量可将“”转化为，求公比的取值范围，进而可得不一定成立；同理将转化为基本量，可证由能推出。详解：如果“”，那么或。 因为，当时， ，因为，所以，所以“”不是“”的充分条件。由可得，因为，所以，解得。所以，所以。故“”是“”的必要条件。 故选B。点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。本题考查学生的转化能力。6. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：三视图中一个为直角三角形，另两个为矩形，可知该几何体为平放的三棱柱。由三视图观察其所有棱长。三个侧面都是矩形，可求其侧面积，底面为直角三角形，可求底面积，进而求该几何体的表面积。详解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，三棱柱的高为2，直角三角形的两个直角边长度分别为1和1 ，斜边长为。所以三棱柱的底面积为，侧面积为。故表面积为。故选C。点睛：（1）还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.（2）对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置 根据几何体的三视图确定直观图的方法：三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。7. 已知分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在点，使，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：因为线段的中点在轴上，在中， 由三角形中位线性质可得到轴，进而得到轴。在直角中，用边角关系推出，再由双曲线定，得到关系，进而可求离心率。 详解：因为线段的中点在轴上，又因为点O为线段的中点，由三角形中位线性质可知轴，所以轴，所以。因为，所以，。因为点在双曲线右支上，由双曲线定义可得，所以，所以。故选A。 点睛：离心率两大考点：求值、求取值范围。解题过程注意的关系。（1）直接根据题意建立的等式或不等式求解；（2）借助平面几何关系建立的等式或不等式求解；（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式或不等式求解；（3）运用数形结合建立的等式或不等式求解；8. 把函数的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则当取最小值时，的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：写出平移后的图像对应的解析式，并整理可得，由平移后的图像与原图像重合可得求出，求其最小值为3，得到函数解析式，进而根据余弦函数的单调减区间可求函数的减区间。详解：把函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像的解析式为 ，因为平移后的图像与原图像重合，所以，因为，所以当时， 取最小值3。所以。由，可得。故选C。 点睛：（1）函数图像左右平移左加右减，应是相对于本身加减； （2）求三角函数的单调区间应将自变量的系数变为正数，利用整体思想根据正弦、余弦函数的单调区间求解。9. 在中，角所对的边分别为，若函数有极值点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由函数有极值点，可得方程有解。所以先求导函数，由方程的判别式大于等于0，化简整理得，由余弦定理求得角B的取值范围，进而求出角的范围，由正弦函数的图像可求的最小值。详解：因为函数，所以。由函数有极值点，可得方程有解。所以 即，亦即。所以 。因为，所以，所以。由正弦函数的图像可知当时，取最小值-1.故选B。点睛：（1）求三角函数的最值，应先求出角的范围，根据正弦、余弦函数的图像与性质求函数的最值。（2）函数有极值点，其导函数对应的方程有解，一元二次方程有解，其判别式应大于等于0。10. 设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：在上是单调函数；在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”下列结论错误的是（ ）A. 函数存在“和谐区间”B. 函数不存在“和谐区间”C. 函数存在“和谐区间”D. 函数 （且）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】分析：利用函数单调性的判别方法，逐个选项检验函数是否存在单调区间。若函数在上的值域是，则方程应该有两个根。 详解： 对于选项A，存在区间0,2，在上是单调增函数；在上的值域是，故A正确；对于选项B，假设存在区间，函数在区间上为增函数，由在上的值域是，可得，解得 ，这与矛盾，故假设错误，所以选项B正确；对于选项C，由函数，可得。取区间，在此区间上，所以函数在区间上为增函数。因为 成立，所以函数在区间上的值域为.所以选项C正确。对于选项D，不妨设,则函数在定义域内为单调增函数。若存在“和谐区间”，则由得，所以是方程的两个根，即是方程的两个根。因为该方程有两个正根，所以存在“和谐区间”。所以选项D错。 所以选D。点睛：（1）判断函数的单调性的方法，单调性的定义、导函数、符合函数的同增异减；（2）函数在其单调区间上的值域是，则方程应该有两个根。第卷（非选择题部分，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 椭圆的长轴长是_，离心率是_【答案】 (1). (2). 【解析】分析：由椭圆方程确定椭圆的，进而求出，再求长轴长、短轴长、离心率。 详解：由椭圆可知，椭圆焦点在轴上，。所以，。所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为。 点睛：求椭圆的长轴长、短轴长、离心率，应先根据椭圆的标准方程求，注意，再求。12. 设数列是公差为的等差数列，则_；数列的前项和取得最大值时，_【答案】 (1). (2). 【解析】分析：将条件转化为等差数列的基本量，解关于的方程组可求出，由等差数列的通项公式即可写出。因为公差小于0，所以所有非负项的和最大，令，可求得前多少项取正值。进而可得数列的前项和取得最大值时，的取值。详解：将转化为用表示得 ，即。解得，由等差数列通项公式得，。令，解得，因为，数列的前20项取正值，故前20项的和最大，此时。点睛：（1）求等差数列的通项公式，应先把条件转化成关于的方程，解方程组可求，再根据通项公式可写出。（2）递减的等差数列，前面所有非负项的和最大；递增的等差数列，前面所有非正项的和最小。13. 若变量满足约束条件，则的最大值为_；的最小值为_【答案】 (1). (2). 【解析】分析：在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域，然后作目标函数对应的经过原点的直线，向上平移直线，当直线经过不等式组表示的平面区域的最后的点时，取最大值，将点的坐标代入即可。表示平面区域内的点到点的距离，由图可知点到直线的距离为最小值，用点到直线的距离公式求出即可。详解：不等式组对应的平面区域为如图所示的边界及其内部。 作直线，当直线经过点A时，取最大值。 由 得 。所以点。 所以。 表示区域内的点到点的距离。 由图可知点到直线的距离为最小值。最小值为。点睛：（1）解决线性规划有关的问题，应准确画出不等式组表示的平面区域；（2）目标函数为时，应平移直线，求其最值；（3）目标函数为形式时，转化为两点连线的斜率来求； （4）目标函数为形式时，转化为两点间距离来求。 14. 若函数为奇函数，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】分析：函数的定义域含有0，则，由函数解析式可得，进而求。根据函数的奇偶性由时的解析式求出时的解析式，然后由内到外求的函数值。详解：因为函数是定义域为R的奇函数，所以。由函数解析式可得，所以。对于函数，设则，因为函数为奇函数，所以。所以，所以 ，所以 点睛：（1）分段函数具有奇偶性，知道一段解析式求另一段解析式时，应遵循求哪一段，设那一段的原则；（2）求函数的函数值时，应遵循从内到外的原则。15. 已知为奇函数，且满足不等式，则实数的值为_【答案】【解析】分析：根据为奇函数，应先推出函数为奇函数，由函数名应利用诱导公式变为正弦，进而可知。再由满足不等式，求得的取值范围。可求的值。详解：因为函数为奇函数，又因为为奇函数，所以函数为奇函数。 因为余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数，所以函数的函数名利用诱导公式应变为正弦，所以。由满足不等式，可得。所以的值应为当时的值，此时。点睛：当函数为奇函数（或函数为偶函数）时，应利用诱导公式将函数名变为正弦（余弦），可知的取值。 16. 正方体中，点在线段上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是_【答案】.详解：以点C为圆心，分别以为轴，建立空间直角坐标系。设正方体的棱长为1，则 、 。设点 。则 设与的夹角为，由夹角公式得 当时，取最大值，根据余弦函数在上为减函数，因为，所以此时取最小值。因为点在线段上运动（包括端点），所以。根据二次函数的单调性可知当时，取最小值 。根据余弦函数在上为减函数，因为，所以此时取最大值。所以，所以与所成角的取值范围是 。点睛：在立体几何体中，求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角或其取值范围，可建立空间直角坐标系，转化为空间向量求解。17. 设是内一点，定义 其中分别是的面积，若，则的取值范围是_【答案】详解：因为，又因为，。 所以，即，所以。 故三角形的面积为。因为定义 其中分别是的面积，若，所以。因为，又因为， 所以 令 因为。因为，所以。所以函数在区间上为增函数。所以。故的取值范围是。点睛：（1）若，知（或）为常数，利用基本不等式可求 （或）的最值；（2）求的取值范围，可构造函数，求其单调性，利用函数的单调性求其取值范围。三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）18. 已知函数.（1）求函数的对称轴；（2）在中，角所对的边分别为，若，的面积为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）求三角函数的对称轴，应把函数的解析式化成一个角的三角函数。先用正弦二倍角公式和降幂公式变解析式为，再用两角差的正弦公式化为，将看成整体，利用正弦函数的对称轴方程可得进而求得对称轴方程；(2)由（1）中化简得到的解析式和条件 可求得角。由的面积为，和面积公式可求得。知道角和对边，应用余弦定理，代入和，再利用完全平方公式可求得。详解：（1）由得所以函数的对称轴为. 的面积为 由余弦定理得 点睛：（1）求三角函数的最值、单调区间、奇偶性、对称中心、对称轴，应把函数的解析式化成或的形式；（2）三角形中已知几个边和角，求其它的边和角，应注意正弦、余弦定理的运用。19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，.(1)求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)因为侧面底面 ， 平面平面，由底面为矩形，可得。平面。用面面垂直的性质定理可知平面。由线面垂直的性质定理可得。(2)过点不好作平面的垂线，故求点到平面的距离。利用三棱锥的体积转化来求，即。 由(1)可知边 上的高即为三棱锥的底面的高，根据题的已知条件可求高及三棱锥的体积。由（1）知，可求三角形PAD的面积。利用即可求点到平面的距离。记直线与平面所成角为，则由可求得直线与平面所成角的正弦值为.详解：（1）证明：侧面底面 ，平面 又平面平面，且 平面 （2）由题易知在上的高为，所以由（1）知平面 ，所以由（1）知，所以记点到平面的距离为则因为所以，得记直线与平面所成角为则所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：（1）立体几何中垂直问题，应注意直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的互相转化；（2）几何体中求点到面的距离，一种方法是，作出垂线段，求该线段的长度；另一种方法可以利用三棱锥的体积转化来求高，即点到面的距离。20. 已知函数 （1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）当时，。由可求切点的纵坐标为。切线的斜率即为该点出的导函数值，故求导函数，进而求导函数值，可得斜率。利用直线的点斜式方程可写出在处的切线方程为，化简可得 。 （2）由函数在上单调递减，可得在上恒成立。故先求。所以在上恒成立。利用分离变量法可得在上恒成立。构造函数。求其导函数，利用导函数的正负判断函数在区间上的单调性，进而求其最小值。故。详解：（1） 在处的切线方程为，即 （2） 在上单调递减 在上恒成立即在上恒成立记 恒成立，且显然不是常数函数. 在上单调递减 实数的取值范围是.点睛：（1）导函数的几何意义是某点处的导函数值是该点处切线的斜率； （2）函数在某区间上单调递减（递增），可转化该函数的导函数在该区间上恒小于等于（大于等于）0.21. 已知是抛物线:上异于原点的动点，是平面上两个定点.当的纵坐标为时，点到抛物线焦点的距离为.(1)求抛物线的方程；（2）直线交于另一点，直线交于另一点，记直线的斜率为，直线的斜率为. 求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）由已知条件和抛物线的定义可得。可求得。故抛物线方程为 。(2)要表示斜率，应先设出点的坐标，找坐标之间的关系，再求斜率乘积为定值。因为点，在抛物线上，故可设，。利用点和 ，求出直线的斜率，进而求其方程为：，将该方程与抛物线方程联立，消得，根据两根积求得，求出。同理可得：。进而求。因为，所以。求得结论。详解：（1）点到抛物线焦点的距离为点到准线的距离为，得抛物线方程为（2）设，直线的方程为：由，得由得，即同理可得： 为定值点睛：（1）解决圆锥曲线有关的问题，画出图形，注意平面几何图形的性质及圆锥曲线定义的运用；（2）对于有关定值问题，如本题中斜率乘积为定值，应根据条件求其乘积，求得结果为常数即可。22. 已知各项为正的数列满足：， （）.（1）求；（2）证明： （）；（3）记数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】分析：（1）根据条件递推公式：，依次推导。（2）要证明，故应由条件得到，所以将条件两边减去2得，将右边通分，进而化为 由条件，可得。所以与异号。得到结论。（3）由（2）知与异号，要求数列的前项和为，故应找数列的间隔项的关系。由（2）知，利用此关系式将式子中的化成 ，并化简可得 （）。要找数列的间隔项的关系，再变为 （）。应判断式子右边的范围。由可得 （）。进而得左边的范围 （）。所以与同号。先求数列前两项的范围， 。进而可得数列奇数项、偶数项的正负。即当时，；当时，。再分奇偶判断数列奇数、偶数项的范围及单调性。可得，结合条件可得。由（2）知，故先求右边的范围，进而得。利用累乘法可得。再用等比数列求和公式可得。化简可得 。 详解：（1）（2） 与异号 （3）由（2）知 （） （） 所以 （） （） （）与同号又当时，当时， 当且为偶数时 数列递增且各项都小于2当且为奇数时 数列递减且各项都大于2 由知， 由（2）知 又 点睛：（1）根据数列的递推公式求数列的前几项，应依次求解； （2）有关数列求和问题，如果为等差或等比数列，按照等差、等比数列的前项和公式即可；如不是等差、等比数列，应构造数列，找数列项与项之间的关系，转化为等差、等比数列的求和问题。
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