2018-2019学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段学案 新人教A版选修4-1.docx

五与圆有关的比例线段学习目标1.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理以及切线长定理.2.能应用这些定理解决与圆有关的比例线段问题.知识链接1.如图所示，CD是弦，AB是直径，且CDAB，垂足为P，则ACB_.从而由_定理可得到PC，PA，PB之间有怎样的关系？提示ACB90，由射影定理得：PC2PAPB.2.若CD与AB不垂直，会有怎样的结论？提示PCPDPAPB.3.若从运动中变化的观点来看，将图中的点P从O内接移到O上(如图所示)，再移到O外(如图所示)，则相交弦PA，PB，PC，PD之间有怎样的关系？提示PAPBPCPD仍然成立.预习导引1.相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等符号语言O的两条弦AB和CD相交于点P，则PAPBPCPD图形语言作用证明线段成比例2.割线定理文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等符号语言从O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则PAPBPCPD图形语言作用证明线段成比例3.切割线定理文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项符号语言从O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，则PA2PBPC图形语言作用证明线段成比例4.切线长定理文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角符号语言PA，PB分别与O相切于点A，B，则PAPB，OPAOPB图形语言作用证明角相等，线段相等要点一相交弦定理的应用例1如图所示，在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于点C，D，垂足是点E.求证：PCPDAEAO.证明连接PO.P为弦AB的中点，OPAB，APPB，PEOA，在RtAPO中，AP2AEAO，由相交弦定理得PDPCPAPB，PDPCAP2，PDPCAEAO.规律方法用相交弦定理解决此类问题的步骤：(1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；(2)正确应用相交弦定理列出关系式；相交弦定理的运用多是与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合.跟踪演练1如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于D，AD9，BD4，以C为圆心，CD为半径的圆与O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，求PEEQ的值.解延长DC交C于M，延长CD交O于N.CD2ADDB，AD9，BD4，CD6.在O，C中，由相交弦定理可知，PEEQDEEMCEEN，设CEx，则DE6x，则(6x)(x6)x(6x6)，解得x3.所以CE3，DE633，EM639.所以PEEQ3927.要点二切割线定理应用例2如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2ECEB.证明如题图，AE是圆的切线，ABCCAE.又AD是BAC的平分线，BADCAD，从而ABCBADCAECAD.ADEABCBAD，DAECAECAD，ADEDAE，故EAED.EA是圆的切线，由切割线定理知，EA2ECEB.而EAED，ED2ECEB.规律方法利用切割线定理证明乘积式成立是一种重要的题型，是高考出题的热点之一，在解决此类问题时，要分清切线与割线以及相关图形的特点，结合三角形、四边形等图形的性质加以论证.跟踪演练2如图所示，PA切O于点A，点M为的中点，割线PBC交AM与点D，交O于点B，C.求证PD2PBPC.证明连接AC.由题意知ADBCCAD，ADB的度数(的度数的度数).M为的中点，ADB的度数(的度数的度数)的度数.PA切O于点A，PAD的度数的度数.PADPDA，PAPD.由题意知PA2PBPC，PD2PBPC.要点三切线长定理的应用例3如图所示，P为O外一点，PA，PB分别切O于点A，B，C为上任意一点，过点C作O的切线，分别交PA，PB于点D，E，PDE的周长为8 cm，且DOE70.求：(1)PA的长；(2)P的度数.解(1)PAPDDA，PBPEEB，DEDCCE.由切线长定理可知PAPB，DADC，EBEC，所以PAPB2PAPDPEDAEBPDPE(DCEC)，即2PAPDPEDE.而PDE的周长PDPEDE8 cm，所以2PA8 cm，所以PA4 cm.(2)连接OA，OB，OC，则PAOA，PBOB，DEOC，且12，34990.由三角形内角和得56，78.又PPAOAOBPBO360，所以P180(5678).因为6770，所以5678140，所以P18014040.规律方法解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连接切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线.跟踪演练3PA，PB切O于A，B，PA5，在劣弧上取一点C，过C作O的切线，分别交PA，PB于D，E两点，则PDE的周长等于_.解析PA，PB，DE分别切O于A，B，C，由切线长定理知：PAPB，DADC，ECEB；PDE的周长lPDDEPEPDDAEBPEPAPB10，故PDE的周长为10.答案101.相交弦定理的证明过程是利用分类讨论思想进行分析的，也可以理解为是由特殊到一般的过程进行分析的.2.割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握.3.要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样.4.(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点.(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例.(3)对于定理中涉及到的线段，在相交弦定理和割线定理中，能实现知三求一，在切割线定理中能实现知二求一.1.如图，O的两条弦AB与CD相交于点E，EC1，DE4，AE2，则BE等于()A.1 B.2C.3 D.4解析AEEBDEEC，2EB41.EB2.答案B2.如图，P是O外一点，PA与O相切于点A，过点P的直线l交O于点B，C，且PB4，PC9，则PA等于()A.4 B.6 C.9 D.36解析PA2PBPC4936，PA6.答案B3.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_.解析由相交弦定理得AFFBEFFC.FC2.由AFCABD，可知，BD.由切割线定理得DB2DCDA，又DA4CD，4DC2DB2，DC.答案4.如图，PA与O相切于点A，D为PA的中点，过点D引割线交O于B，C两点.求证：DPBDCP.证明因为PA与圆相切于点A，所以DA2DBDC.因为D为PA中点，所以DPDA.所以DP2DBDC，即.又BDPPDC，所以BDPPDC.所以DPBDCP.一、基础达标1.如图所示，已知PA是O的切线，切点为A，PA2，AC是O的直径，PC与O交于点B，PB1，则O的半径R_.解析由切割线定理知PA2PBPC，即22PC，PC4，AC2PC2PA2422212，AC2，O的半径R.答案2.如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.解析CFCE，BFBD，BCCEBD.ABBCCA(ABBD)(ACCE)ADAE，故结论正确.连接DF，则FDADGA.又AA，ADFAGD.AD2AFAG.又AEAD，ADAEAFAG.故结论正确，容易判断结论不正确，故选A.答案A3.如图，点P在O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切O于C点，CDAB于D点，则CD()A.2B.C.2 D.4解析如图，连接OC，由切割线定理知，PC2PAPB，PC2(24)212，PC2，PO4.又OCPC，CD.答案B4.从圆外一点P向圆引两条割线PAB，PCD，分别与圆相交于点A，B，C，D，如果PA4，PC3，CD5，那么AB_.解析由割线定理得，PAPBPCPD，4(4AB)3(35)，AB2.答案25.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.解析由于PDDB916，设PD9a，则DB16a.根据切割线定理有PA2PDPB.又PA3，PB25a，99a25a，a，PD，PB5.在RtPAB中，AB2PB2AP225916，故AB4.答案46.(2016青岛重点中学联考)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC且交AC于点E，当点D在AB上，DEEB时：(1)求证：AC是BDE的外接圆的切线；(2)若AD6，AE6，求BC的长.(1)证明取BD的中点O，连接OE，DEEB，DB是BED的外接圆的直径.OE是O的半径.BE平分ABC，ABEEBC.OEOB，ABEBEO.BEOEBC.EOBC.C90，AEO90，即AC是O的切线.(2)解由(1)得AE2ADAB，(6)26AB，AB12.OEOD3，AO9.EOBC，即.BC4.二、能力提升7.如图所示，PA为O的切线，A为切点，PA8，割线PCB交圆于C，B，且PC4，ADBC于D，连接AB，AC，ABC，ACB，则等于()A.B.C.2 D.4解析PA是O的切线，PCB是O的割线，PACB，又有PP，PCAPAB，.设PCx，PA2PCPB，64x(x12)，x212x640，解得x4，PC4，PB41216，ADBC，sin ，sin ，.故选B.答案B8.如图所示，AB是O的直径，CB切O于B，CD切O于D，交BA的延长线于E，若EA1，ED2，则BC的长为_.解析由ED2EAEB及EA1，ED2知EB4，设BC长为x，则由切线长定理知CDx.又BC与O相切，EBC90，EB2BC2EC2，即42x2(2x)2，解得BCx3.答案39.如图所示，O过点M，M交O于点A，延长O的直径AB交M于C，若AB8，BC1，则AM_.解析连接MB，设M的半径为R，则R2MB2ABBC8，又RMA，MA2MB28.又AB为O的直径，BMA90，MB2MA2AB264，MA236，即MA6.答案610.如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，AC是BAF的平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB，垂足为点M.(1)求证：DC是O的切线；(2)求证：AMMBDFDA.证明(1)如图，连接OC，OAOC，OCAOAC.又AC是BAF的平分线，DACOAC.DACOCA.ADOC.又CDAD，OCCD，即DC是O的切线.(2)AC是BAF的平分线，CDACMA90，ACAC，ACDACM，CDCM.由(1)知DC2DFDA，又CM2AMMB，AMMBDFDA.11.如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的长.(1)证明如图，连接ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延长BO交O于点D，连接DN.由条件易知BOMBND，于是，即，BN6，MNBNBM642.三、探究与创新12.如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.证明(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，END90，因此OMEENO180，又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.