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函数的图象【考点梳理】1利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象 yf(ax)的图象；yf(x)的图象yaf(x)的图象(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象【考点突破】考点一、作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2.解析 (1)首先作出ylg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|lg(x1)|.如图所示(实线部分)(2)y2x11的图象可由y2x的图象向左平移1个单位，得y2x1的图象，再向下平移一个单位得到，如图所示(3)yx2|x|2其图象如图所示【类题通法】画函数图象的一般方法(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出【对点训练】分别画出下列函数的图象：(1)y|log2(x1)|；(2)y|x1|，xR；(3)y.解析 (1)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(2)可先作出yx1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变可得y|x1|的图象如图中实线部分所示(3)y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图. 考点二、识图与辨图【例2】(1)函数yln |x|x2的图象大致为()(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设ABx(1x3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN1，当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数yf(x)的图象大致为() 答案 (1) A (2) D解析 (1)函数yln |x|x2的定义域为x|x0且为偶函数，所以排除选项B，D.又当x0时，yln xx2，y2x，令y0，解得x，或x(舍去)则当0x时，函数yln |x|x2单调递减故选A.(2)法一：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形因为矩形ABCD的周长为8，ABx，则AD4x，所以yx(4x)(x2)24(1x3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x2时，y4(3,4)，故选D.法二：在判断出点P的轨迹后，发现当x1时，y3(2,3)，故选D.【类题通法】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象【对点训练】1函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()答案 D解析 f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又f(2)8e2(0，1)，故排除A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.2如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为() A B C D答案 B解析 当点P沿着边BC运动，即0x时，在RtPOB中，|PB|OB|tanPOBtan x，在RtPAB中，|PA|，则f(x)|PA|PB|tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x时，由上得ftan1，又当点P与边CD的中点重合，即x时，PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f|PA|PB|2，知ff，故又可排除D.综上，选B.考点三、函数图象的应用【例3】已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案 C解析 将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减【类题通法】研究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图象的对称性，分析函数的奇偶性从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等【对点训练】已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)答案 D解析 函数f(x)的图象如图所示，由图象知只有D正确【例4】已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1，1时，f(x)|x|1.则方程f(x)log2|x|在区间3，5内解的个数是()A5 B6 C7 D8答案 A解析 依题意画出yf(x)与ylog2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5.【类题通法】研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解【对点训练】已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_答案 5解析 方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.【例5】函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式0的解集为_答案 解析 在上，ycos x0，在上，ycos x0.由f(x)的图象知在上0，因为f(x)为偶函数，ycos x也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.【类题通法】研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解【对点训练】如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0 Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2答案 C解析 令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1
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