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第2章 函数、导数及其应用 第10讲A组基础关1设f(x)ln (32x)cos2x，则f(0)()A B. C D.答案C解析因为f(x)(2)2sin2x2sin2x，所以f(0).2(2019宁夏中卫月考)函数yf(x)的图象在点P(5，f(5)处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A1 B2 C3 D4答案B解析由条件知f(5)1，又在点P处的切线方程为yf(5)(x5)，yx5f(5)，即yx8，5f(5)8，f(5)3，f(5)f(5)2.3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末答案D解析速度vst26t8，由t26t80，解得t2或4，所以速度为零的时刻是2秒末和4秒末4设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a等于()A0 B1 C2 D3答案D解析yaeax，当x0时，切线的斜率为a1.又此切线的方程为2xy10，a12，故a3.5已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)答案C解析f(2)，f(3)表示曲线yf(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)f(2)表示直线AB的斜率所以0f(3)f(3)f(2)f(2)6已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B. C. D.答案A解析y，y.由ex2可得y1,0)，而tany，所以.7过点(1,1)与曲线f(x)x3x22x1相切的直线有()A0条 B1条 C2条 D3条答案C解析f(x)3x22x2.设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y1(3x2x02)(x1)，所以所以xx2x0113x2x2x03x2x02.整理得xxx010，x(x01)(x01)0，(x1)(x01)0，(x01)(x01)20，所以x01，故切线有2条8曲线y在点(1，1)处的切线方程为_答案y2x1解析由题意可得，y，则曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所以所求的切线方程为y2x1.9(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.答案3解析由yaex(ax1)ex，则f(0)a12.所以a3.10已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.答案0解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.B组能力关1已知f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()答案A解析f(x)x2sinx2cosx，f(x)xsinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.又fsin1时，f(x)xe2x，则曲线yf(x)在x0处的切线方程是_答案xy0解析因为f(1x)f(1x)2，所以函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，当x1时，f(x)xe2x，当x1，代入f(x)xe2x，得到y2(2x)ex，所以当x1时，y2(2x)ex，所以y(x1)ex，当x0时，y1；当x0时，y0，所以曲线yf(x)在x0处的切线方程是yx，即xy0.4已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21，所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y613(x2)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率k为f(x0)3x1，y0xx016，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又因为直线l过原点(0,0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，得切点坐标为(2，26)，k3(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)5设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
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