2020年高考物理一轮复习 第6章 机械能及其守恒定律 第26讲 机械能守恒定律及其应用学案（含解析）.doc

第26讲机械能守恒定律及其应用考点一机械能守恒的判断与应用1重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。(2)重力做功不引起物体机械能的变化。2重力势能(1)定义：物体由于被举高而具有的能。(2)表达式：Epmgh。(其中h是相对于零势能面的高度)(3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小。3重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG(Ep2Ep1)Ep。4重力势能的特点(1)系统性：重力势能是物体和地球所共有的。(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。5弹性势能(1)定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及弹簧的劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：WEp。6机械能守恒定律(1)机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。(2)机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。(3)常用的三种表达式7机械能守恒条件(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运动、抛体运动等。(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。(4)除受重力或系统内弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒。8机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。(2)利用守恒条件判断。(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。9含弹簧类机械能守恒问题两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：(1)若只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒。(2)如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长至最长或压缩至最短时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大；当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度，例如弹簧振子振动过程中的情形。10机械能守恒定律应用注意(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，而是看是否只有重力或弹力做功。(2)机械能守恒时，物体的运动轨迹可以是曲线也可以是直线，力可以是恒力也可以是变力。(3)在研究单个物体与地球构成的系统时，通常用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。1教材母题(人教版必修2 P67T4)以下说法是否正确？如果正确，说出一种可能的实际情况；如果不正确，说明这种说法为什么错。A物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。B物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。C物体运动，重力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。D没有摩擦时物体由A沿直线运动到B，克服重力做的功是1 J，有摩擦时物体由A沿曲线运动到B，克服重力做的功大于1 J。变式子题(多选)下列说法正确的是()A物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量可能不是1 JB物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量可能不是1 JC物体运动，重力做的功是1 J，物体重力势能的增加量一定是1 JD没有摩擦时物体由A沿直线运动到B，克服重力做的功是1 J，有摩擦时物体由A沿曲线运动到B，克服重力做的功大于1 J答案ABC解析重力势能的变化只与重力做功有关，与其他力做功无关，重力做了多少正功，重力势能就减少多少，重力做了多少负功，重力势能就增加多少，故A、B、C正确；重力对物体做功，与物体运动的初末位置有关，与物体运动路径和其他力做功无关，故有摩擦时物体由A沿曲线运动到B，克服重力做的功还是1 J，D错误。2下列几种运动过程中物体的机械能守恒的是()A匀速下落的雨滴B在水中下沉的铁块C“神舟十号”飞船穿过大气层返回地面D用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动答案D解析雨滴匀速下落时，必受竖直向上的阻力，且阻力做功，故雨滴机械能不守恒；在水中下沉的铁块，水的浮力做功，铁块机械能不守恒；“神舟十号”飞船穿过大气层时，由于速度很大，空气阻力不可忽略，克服阻力做功，所以机械能不守恒，A、B、C错误。用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动，虽然细线对小球有作用力，但作用力方向始终和小球速度方向垂直，故只有重力对小球做功，所以机械能守恒，D正确。3. 如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是()A物体到达海平面时的重力势能为mghB重力对物体做的功为mghC物体在海平面上的动能为mvmghD物体在海平面上的机械能为mv答案C解析物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A错误；物体运动过程下落了h高度，重力做功mgh，B错误；根据机械能守恒定律mghmvmv2，即物体在海平面上的机械能E2mv2mghmv，C正确，D错误。4如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)()A在任一时刻，两球动能相等B在任一时刻，两球加速度相等C在任一时刻，系统动能和重力势能之和保持不变D在任一时刻，系统机械能是不变的答案D解析细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aPaQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能和重力势能之和发生变化，C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，D正确。考点二多物体的机械能守恒问题1常见多个物体的机械能守恒模型两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统，是机械能守恒定律应用的常考形式，求解的关键是寻找两物体的速度关系。按两物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种：模型一：速率相等的连接体模型(1)如图甲所示的两物体组成的系统，在释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。(2)判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。(3)根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。模型二：角速度相等的连接体模型(1)如图乙所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等，其线速度的大小与转动半径成正比。(2)系统机械能守恒的特点一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。(3)解决角速度相等的连接体问题的三点提醒要注意判断系统的机械能是否守恒。注意寻找物体间的速度关系和位移关系。列机械能守恒方程时，一般选用EkEp的形式，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。(4)对于轻杆两端(或两处)各固定一个物体，整个系统绕杆上某点转动的轻杆模型，题设中一般忽略空气阻力和各种摩擦，转动时两物体角速度相等，根据轻杆转轴的位置，可以确定两物体的线速度是否相等。轻杆对物体的作用力并不总是指向轻杆的方向，轻杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。轻杆对物体做正功，使其机械能增加，同时轻杆对另一物体做负功，使其机械能减少，对于轻杆和物体组成的系统，没有外力对系统做功，系统的总机械能守恒。模型三：某一方向分速度相等的连接体模型(1)如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度vx与A的速度大小相等。(2)根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。2多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路(1)首先分析多个物体组成的系统是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少，且E1E2。或系统的动能增加量等于系统势能减少量，即Ek1Ek2(Ep1Ep2)。(2015全国卷)(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则()Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于gDa落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg解析当a刚释放时，两者的速度都为0，当a落地时，a沿杆的分速度为0，即b最终速度为零，对系统由机械能守恒定律可知mghmv，可得a落地时速度大小为va，B正确；分析可得滑块b的速度先增加后减小且b的最终速度为0，即轻杆对b先是推力后是拉力，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；当轻杆对b是拉力时，对a的拉力斜向下，分析可得此时a的加速度大于g，C错误；a落地前，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时杆对b作用力为0，这时b对地面的压力大小为mg，D正确。答案BD方法感悟(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用EkEp或EAEB的形式，且不用选取零势能面。列方程时，选取的表达角度不同，表达式也不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。1如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的2倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是()A2R B. C. D.答案C解析A落地前，A、B两球构成的系统机械能守恒。如图所示，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有2mgRmgR3mv2，A落地后B将以速度v做竖直上抛运动，即有mv2mgh，解得hR。故B上升的最大高度为R，C正确。2. (多选)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是()A物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒B弹簧的劲度系数为C物体A着地时的加速度大小为D物体A着地时弹簧的弹性势能为mghmv2答案AC解析由题意知，物体A下落过程中，B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；物体B对地面的压力恰好为零，故弹簧的弹力为Tmg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知Tkh，则弹簧的劲度系数为k，故B错误；物体A着地时，细绳对A的拉力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mgmg2ma，则a，故C正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mghEp弹2mv2，则Ep弹2mghmv2，故D错误。3. 有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一根不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为()A. B. C. D.答案D解析由运动的合成与分解可知滑块A和B沿绳方向的速度大小相等，有vAsin60vcos60，解得vAv，滑块A、B组成的系统机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mghmvmv2，解得h，由几何关系可知绳长L2h，故D正确。4. 质量分别为m和2m的两个小球P和Q中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：(1)小球P的速度大小；(2)在此过程中，杆对小球P做的功。答案(1)(2)mgL解析(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球的运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得Ep减Ek增即2mgLmgLmv22m(2v)2解得v。(2)杆对P球做的功等于小球P机械能的增加量E，则WEmgLmv2mgL。考点三非质点类物体的机械能守恒问题所谓非质点类物体就是像“液柱”“绳(考虑重力)”“链条”“过山车”等类物体，在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，Lx0)。解析链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，当斜面上链条长为x时，链条的速度为v，则在此过程对链条整体由机械能守恒mgx0sinmv2mgxsin解得v 。答案方法感悟(1)物体虽然不能看做质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。寻找重力势能发生变化的那部分物体的等效长度，如本例中等效长度由x0x，可以快速准确的解决非质点问题。(3)非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。(4)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。(5)分段看成两个物体或多个物体，利用系统机械能守恒去分析解决问题也是一种方法。1如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为()A. B. C. D. 答案A解析液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧的高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了，减少的重力势能转化为整柱液体的动能，设液体的总质量为4m，则有mg(4m)v2，得v ，A正确。2如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L2R)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。答案解析当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，圆轨道上那部分列车的质量M2R由机械能守恒定律可得：MvMv2MgR又因列车运行速度最小时，圆形轨道顶部车厢应满足：mgm，可求得：v0。课后作业 巩固强化练1(多选)如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是()A物体的重力势能减少，动能增加B斜面体的机械能不变C斜面体对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功D物体和斜面体组成的系统机械能守恒答案AD解析物体下滑过程中重力势能减少，动能增加，A正确；地面光滑，斜面体会向右运动，动能增加，机械能增加，B错误；斜面体对物体的弹力垂直于接触面，与物体的位移并不垂直，弹力对物体做负功，C错误；物体与斜面体组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，D正确。2. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案B解析在圆环下滑到最大距离的过程中，弹簧弹力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，A错误；利用几何关系可知圆环下落的距离为L，此时圆环的重力势能的减少量为EpmgLmgL，根据系统机械能守恒，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能的减少量，即Ep弹mgL，B正确；圆环下滑到最大距离时速度为零，所受合力不为零，C错误；把圆环和弹簧看成一个系统，系统的机械能守恒，即圆环的重力势能、弹簧的弹性势能与圆环的动能之和保持不变，D错误。3如图所示，在倾角30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h0.1 m，两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是()A整个下滑过程中A球机械能守恒B整个下滑过程中B球机械能守恒C整个下滑过程中A球机械能的增加量为 JD整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J答案D解析在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A球沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(hLsin)mBgh(mAmB)v2，解得：v m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2mBgh J，故D正确；A球机械能的减少量为 J，C错误。4如图所示，一长L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，滑轮离地面足够高，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为()A. B.C. D.答案C解析铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的作用，弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直，故只有重力做功。设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为v，由机械能守恒定律有：mv2Ep0，其中铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部分的重力势能，如图所示，即Epmg，解得v，故C项正确。5. (多选)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30，质量分别为M、m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用手按住物体M，此时M距离挡板的距离为s，滑轮两边的细绳恰好伸直，而没有力的作用。已知M2m，空气阻力不计。松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是()AM和m组成的系统机械能守恒B当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零C若M恰好能到达挡板处，则此时m的速度为零D若M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和答案BD解析M在运动过程中，M、m与弹簧组成的系统机械能守恒，A错误；当M速度最大时，弹簧的弹力等于Mgsin30mg，此时m对地面的压力恰好为零，B正确；然后M做减速运动，若恰好能到达挡板，也就是在挡板处速度刚好减小到零，之后M会上升，所以此时弹簧弹力大于mg，即此时m受到的绳拉力大于自身重力，m还在加速上升，速度不为零，C错误；若M恰能到达挡板处，根据系统机械能守恒，M减小的机械能，等于m增加的机械能与弹簧增加的弹性势能之和，而M恰好到达挡板时，动能恰好为零，因此减小的机械能等于减小的重力势能，即等于重力对M做的功，D正确。真题模拟练6(2017全国卷)如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为()A.mgl B.mgl C.mgl D.mgl答案A解析以均匀柔软细绳MQ段为研究对象，其质量为m，取M点所在的水平面为零势能面，开始时，细绳MQ段的重力势能Ep1mgmgl，用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时，细绳MQ段的重力势能Ep2mgmgl，则外力做的功即克服自身重力做的功等于细绳MQ段的重力势能的变化，即WEp2Ep1mglmglmgl，A正确。7(2016全国卷)(多选)如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN。在小球从M点运动到N点的过程中()A弹力对小球先做正功后做负功B有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差答案BCD解析初态弹簧处于压缩状态，末态弹簧处于伸长状态，且弹簧弹力大小相等，则弹簧弹力先增大后减小再增大，根据弹簧弹力与速度方向间的夹角变化可知弹簧弹力对小球先做负功再做正功再做负功，A错误。小球运动过程中受重力、弹簧的弹力、杆的弹力，其中杆的弹力始终垂直于杆，弹簧的弹力沿弹簧方向，当弹簧与光滑杆垂直时，小球竖直方向只受重力的作用，加速度为重力加速度；当弹簧为原长时，小球只受重力作用，小球的加速度也为重力加速度，B正确。当弹簧与光滑杆垂直时，弹簧长度最短，弹簧弹力与速度垂直，则弹力对小球做功的功率为零，C正确。M、N两点弹簧弹性势能相等，从M到N小球的重力势能转化为动能，则小球在N点的动能等于其在M、N两点的重力势能差，D正确。8. (2016全国卷)如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。(1)求小球在B、A两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。答案(1)51(2)见解析解析(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkAmg设小球在B点的动能为EkB，同理有EkBmg由式得EkBEkA51(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的竖直向下的压力FN应满足FN0设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有FNmgm由式得mgmvC 全程应用机械能守恒定律得mgmvC2由式可知，vC ，即小球恰好可以沿轨道运动到C点。9. (2016全国卷)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF4R。已知P与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为g。(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R。求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。答案(1)2(2)mgR(3)m解析(1)根据题意知，B、C之间的距离为l7R2R5R设P第一次到达B点时的速度为vB，由动能定理得mglsinmglcosmv0式中37，联立式并由题给条件得vB2(2)设BEx，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有mgxsinmgxcosEp0mvE、F之间的距离为l14R2RxP到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有Epmgl1sinmgl1cos0联立式并由题给条件得xREpmgR(3)设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为x1RRsiny1RRRcos式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角为的事实。设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有y1gt2x1vDt联立式得vD设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有m1vm1vm1gP由E点运动到C点的过程中，由动能定理有Epm1g(x5R)sinm1g(x5R)cosm1v联立式得m1m。10(2018江苏高考)如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin530.8，cos530.6。求：(1)小球受到手的拉力大小F；(2)物块和小球的质量之比Mm；(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。答案(1)Mgmg(2)65(3)T解析(1)如图所示，设小球受AC、BC方向的拉力分别为F1、F2，则F1sin53F2cos53FmgF1cos53F2sin53且F1Mg解得FMgmg。(2)小球运动到与A、B相同高度过程中，小球上升高度h13lsin53物块下降高度h2lAClBClAB2l根据机械能守恒定律mgh1Mgh2解得Mm65。(3)根据机械能守恒定律，小球向下运动到最低点时回到起始点。设此时小球沿AC方向的加速度大小为a，物块受到的拉力为T根据牛顿第二定律，MgTMa小球受AC方向的拉力TT根据牛顿第二定律，Tmgcos53ma解得T。11(2016全国卷)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；(2)若P能滑上圆轨道，但仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。答案(1)2l(2)mMMg4l要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有MvMgl联立式得mMm。