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(五)空间向量与立体几何1(2018盐城模拟)如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，且PAAD2，点M，N分别在PD，PC上，PMMD.(1)求证：PC平面AMN；(2)求二面角BANM的余弦值(1)证明以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系又PAAD2，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，M(0,1,1)，C(2,2,0)(2,2，2)，(0,1,1)0220，PCAM.设N(x，y，z)，求得N.0，ANPC.又AMANA，AM，AN平面AMN，PC平面AMN.(2)解设平面BAN的法向量为n(x，y，z)，即令z1，n(0,2，1)(2,2，2)是平面AMN的法向量，cosn，.由图知二面角BANM为钝二面角，二面角BANM的余弦值为.2.如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中点(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求二面角ABEC的正弦值解(1)以O为原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)(2，1,0)，(0,2，1)，cos，又异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线BE与AC所成角的余弦值为.(2)(2,0，1)，(0,1，1)，设平面ABE的法向量为n1(x，y，z)，则由n1，n1，得取n1(1,2,2)，平面BEC的法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，二面角ABEC的余弦值的绝对值为，sin ，即二面角ABEC的正弦值为.3.三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB2，AC4，AA13，D是BC的中点(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1A1DC1的正弦值解(1)由题意知，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3)，则(1,2，3)，(0,4,0)，(1，2,3)设平面A1C1D的一个法向量为n(x，y，z)由nx2y3z0，n4y0，得y0，x3z，令z1，得x3，n(3,0,1)设直线DB1与平面A1C1D所成的角为，则sin |cos，n|.(2)设平面A1B1D的一个法向量为m(a，b，c)，(2,0,0)由ma2b3c0，m2a0，得a0,2b3c，令c2，得b3，m(0,3,2)设二面角B1A1DC1的大小为，|cos |cosm，n|，sin .所以二面角B1A1DC1的正弦值为.4.如图，在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O是AC的中点，侧棱SB和底面成45角(1)若D为棱SB上一点，当为何值时，CDAB；(2)求二面角SBCA的余弦值的大小解连结OB，由题意得OS，OB，OC两两垂直以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题意知SBO45，SO3.所以O(0,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，S(0,0,3)，B(3,0,0)(1)设(01)，连结OD，则(1)(3(1)，0,3)，所以(3(1)，3)因为(3，0)，CDAB，所以9(1)30，解得.故当时，CDAB.(2)平面ACB的法向量为n1(0,0,1)设平面SBC的法向量n2(x，y，z)，由得解得取z1，则n2(1，1)，所以cosn1，n2，显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.
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