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第篇 高考专题讲练 方法篇角度一特值(例)排除法特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等,针对各选项进行代入对照,结合排除法,从而得到正确的答案.(1)使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化情况也一定成立.(2)使用技巧:找到满足条件的合适的特殊化例子,或举反例排除,有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论.(3)常见问题:求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等.而对于函数图像的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题,常通过排除法解决.示例解法关键2018全国卷函数y=-x4+x2+2的图像大致为()图F1-1当x=0时,y=2,排除A,B;当x=0.5时,x2x4,所以此时y2,排除C.故选D2018全国卷图F1-2来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()图F1-2A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3不妨设三角形ABC为等腰直角三角形,则易得区域,的面积相等.答案:A2016全国卷函数y=Asin(x+)的部分图像如图F1-3所示,则 ()图F1-3A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+3令x=0和x=3,验证可得结果.答案:A2017全国卷已知0,2,tan =2,则cos-4=.取角终边上特殊点(1,2),利用定义代入计算,求sin ,cos .答案:310102017全国卷函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是 ()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3当x=4时,f(x-2)=f(2)b0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ()A.a+1bb2alog2(a+b)B.b2alog2(a+b)a+1bC.a+1blog2(a+b)b2a D.log2(a+b)a+1bb|b|,则下列不等式一定成立的是()A.a3b3B.a2b2C.1a1bD.log12|a|0,0,x=0,-1,x1,若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为()A.a2B.3a5C.a2或3a4,x-ay2,则 ()A.对任意实数a,(2,1)AB.对任意实数a,(2,1)AC.当且仅当a0,则 ()A.sin 0B.cos 0C.sin 20D.cos 20令=60,210,逐个验证选项.答案:C测题1.已知函数f(x)=1x-a为奇函数,g(x)=ln x-2f(x),则函数g(x)的零点所在区间为 () A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.已知函数f(x)=sinx+6(其中0)图像的一条对称轴为直线x=12,则的最小值为()A.2B.4C.10D.163.已知函数f(x)=-x3-7x+sin x,若f(a2)+f(a-2)0,则实数a的取值范围是 ()A.(-,1)B.(-,3)C.(-1,2)D.(-2,1)4.圆C:x2+y2=2,点P为直线x3+y6=1上的一个动点,过点P向圆C作切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点 ()A.12,13B.23,13C.13,12D.13,23角度三估算法由于选择题提供了唯一正确的答案,又不需写出过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案,这样往往可以减少运算量.估算省去了很多推导过程和复杂的计算,节省时间.(1)使用前提:针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的命题,常与特值法结合起来使用.(2)使用技巧:对于数值计算,常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等;对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.(3)常见问题:求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等.示例解法关键2018全国卷设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.123B.183C.243D.543等边三角形ABC的面积为93,显然球心不是此三角形的中心,所以三棱锥体积最大时,三棱锥的高应在区间(4,8)内,所以13934VD-ABC13938,即123VD-ABCbcB.bacC.cbaD.caba=log2e1,b=ln 2=1log2e(0,1),c=log1213=log23log2e,据此可得cab.故选D2017全国卷函数f(x)=15sinx+3+cosx-6的最大值为()A.65B.1 C.35D.15当x=6时,函数值大于1,故选A2017全国卷若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是 ()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)列出关于e的表达式,用a表示,根据a1,估算e的范围.答案:C测题1.某班设计了一个八边形的班徽(如图F3-1), 它由四个腰长为1,顶角为的等腰三角形和一个正方形组成,则该八边形的面积为()图F3-1A.2sin -2cos +2B.sin -3cos +3C.3sin -3cos +1D.2sin -cos +12.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则PF1F2的内切圆圆心的横坐标为()A.aB.bC.a2+b2D.a+b-a2+b23.sin 1,sin 2,sin 3的大小关系为()A.sin 1sin 2sin 3B.sin 2sin 1sin 3C.sin 3sin 2sin 1D.sin 2sin 3sin 14.若04,sin +cos =a,sin +cos =b,则()A.abC.ab2角度四构造法构造法是一种创造性的解题方法,它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想.利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等,从而简化推理与计算过程,使较复杂的或不易求解的数学问题简单化.构造法来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从类似的问题中找到构造的灵感.(1)使用前提:所构造的函数、方程、图形等要合理,不能超出原题的限制条件.(2)使用技巧:对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数,对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理.(3)常见问题:比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.示例解法关键2018全国卷在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ()A.15B.56C.55D.22在长方体ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2-A1B1B2A2,研究AB2D1即可.答案:C2016全国卷,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)构造正方体,将有关棱与面看作问题中有关线与面,逐一判断.答案:2016全国卷若ab0,0c1,则 ()A.logaclogbcB.logcalogcbC.accb构造函数y=logcx和y=xc,利用函数的单调性可解决.答案:B2015全国卷设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是 ()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)据题意构造新函数g(x)=f(x)x,先求导再解题.答案:A2015全国卷设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.由an+1=Sn+1-Sn变形,再构造等差数列1Sn求解.答案:-1n测题1.已知等差数列an的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15= ()A.35B.42C.49D.632.已知ab0,则下列不等式中成立的是()A.1a1bB.log2alog2bC.13ab-123.在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图F4-1,在鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ()图F4-1A.12B.-12C.32D.-324.设函数f(x)的导函数为f(x),且对任意xR都有f(x)f(x)成立,则 ()A.3f(ln 2)2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)b2与log12|a|log12|b|都不成立,可排除选项B,D;当a=1,b=-2时,1a1b不成立,可排除选项C.故选A.2.B解析 (利用排除法)易知f(x)是偶函数,故排除A选项;当0x0,故排除D选项;当x2时,f(x)1,f(-1)=f(1)=-1,故a=0符合题意,排除B,D选项;当a=4时,由函数f(x)的图像(图略)可知,符合题意,排除A选项.故选C.4.C解析 (特殊位置法)取A(0,3),B(0,-3),P(-5,0),则直线OM,ON的方程分别为y=35x,y=-35x,可得M52,32,N52,-32,所以SMON=152.故选C.5.2解析 (选用特殊图形)设ABC为等边三角形,则有tan C=3,S=34a2,满足题中条件(a2+b2)tan C=8S,所以sin2A+sin2Bsin2C=2.角度二1.C解析 函数f(x)=1x-a为奇函数,可得a=0,则g(x)=ln x-2f(x)=ln x-2x,显然函数g(x)为增函数,且有g(1)=ln 1-2=-20,g(2)=ln 2-10,g(4)=ln 4-120,g(2)g(3)0,所以B,C错;若a=-2,则f(a2)+f(a-2)=f(4)+f(-4)=0,也不满足f(a2)+f(a-2)0,所以A错.故选D.4.B解析 如图所示,不妨设P(3,0),AB垂直x轴于点D.在直角三角形OAP中,根据射影定理可知(2)2=|OD|3,则|OD|=23,即过切点A,B的直线方程为x=23.四个选项中,只有B选项符合,故选B.角度三1.A解析 当顶角时,八边形几乎是边长为2的正方形,面积接近于4,四个选项中,只有A符合,故选A.2.A解析 如图,点P沿双曲线向右顶点无限接近时,PF1F2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为右顶点,则内切圆圆心的横坐标为a,故选A.3.B解析 因为sin 1=sin(-1),22sin(-1),即sin 2sin 1.因为sin 1=sin(-1),2-13sin 3,即sin 1sin 3.综上所述,sin 2sin 1sin 3.4.A解析 若0,则sin +cos =a1.若4,则sin +cos =b2,从而ba,结合选项分析,应选A.角度四1.B解析 (构造新数列)易知S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.2.C解析 (构造函数)因为ab0,所以1alog2b.因为y=x-12(x0)为单调递减函数,所以a-12b-12,故A,B,D是错误的.因为y=13x为单调递减函数,所以13af(x)成立,所以g(x)0,即g(x)在R上单调递增.又ln 2ln 3,所以g(ln 2)g(ln 3),即f(ln2)eln2f(ln3)eln3,即f(ln2)2f(ln3)3,所以3f(ln 2)2f(ln 3).故选C.
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