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第一章 常用逻辑用语综合检测一、选择题1.命题“若x24,则-2x2”的逆否命题是().A.若x24,则x2或x-2B.若-2x2,则x22或x4D.若x2或x-2,则x24【解析】命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.故选D.【答案】D2.设p:log2x0,q:2x2,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p:log2x0,即0x1;q:2x2,即x1.q:x1,p是q的充分不必要条件,故选A.【答案】A3.“a1或b1”是“a+b2”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】“若a1或b1,则a+b2”等价于“若a+b=2,则a=1且b=1”,不成立,故不是充分条件.同理,“若a+b2,则a1或b1”等价于“若a=1且b=1,则a+b=2”,成立,故是必要条件.【答案】B4.下列结论正确的是().A.若向量ab,则存在唯一实数使a=bB.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“ab0”C.“若=3,则cos =12”的否命题为“若3,则cos 12”D.若命题p:xR,x2-x+10【解析】选项A中,若b为零向量,a为非零向量,则不存在实数,使a=b;选项B中,当a,b的夹角为180时,也有ab0;选项D中,p应为“xR,x2-x+10”.故选C.【答案】C5.已知命题p:xR,2x3-1,所以命题p:xR,2x3x为假命题,则p为真命题.令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)=-10,所以函数f(x)=x3+x2-1在(0,1)上存在零点,即命题q:xR,x3=1-x2为真命题.所以(p)q为真命题.故选B.【答案】B6.已知命题p:若不等式x2+x+m0恒成立,则m14;命题q:在ABC中,“AB”是“sin Asin B”的充要条件,则().A.p假q真B.“pq”为真C.“pq”为假D.p假q真【解析】易判断出命题p为真命题,命题q为真命题,所以p为假命题,q为假命题,结合各选项知B正确.【答案】B7.给定两个命题p,q,若p是q的充分不必要条件,则q是p的().A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为p是q的充分不必要条件,所以pq,q/ p,所以qp,p/ q,所以q是p的充分不必要条件.【答案】C8.下列有关命题的叙述,错误的个数为().若pq为真命题,则pq为真命题;“x5”是“x2-4x-50”的充分不必要条件;若命题p:x0R,使得x02+x0-10得x5或x5”是“x2-4x-50”的充分不必要条件,所以正确.由特称命题的否定是全称命题知正确.“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2,则x2-3x+20”,故错误.【答案】B9.下列说法正确的个数是().若命题p:xR,使得x2+x-10;若p是q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题;“m=-1”是“直线l1:mx+(2m-1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”的充要条件.A.1B.2C.3D.4【解析】若命题p:xR,使得x2+x-10对任意的xR恒成立.若pq为真命题,pq为假命题,则实数m的取值范围为().A.(1,4) B.-2,4 C.(-,1(2,4)D.(-,1)(2,4)【解析】当命题p为真命题时,函数f(x)图象的对称轴为直线x=m,m2.当命题q为真命题时,若m=0,则原不等式为-4x+10,该不等式的解集不为R,不符合条件;若m0,则有m0,=4(m-2)2-4m0,解得1m2,1m4,解得2m1;“=2+k(kZ)”是“函数y=sin(2x+)为偶函数”的充要条件;命题p:x0R,使sin x0+cos x0=32;命题q:若sin sin ,则,那么(p)q为真命题.其中正确的个数是( ).A.4B.3C.2D.1 【解析】因为中的原命题为真,所以其逆否命题也为真,所以错误.由全称命题的否定是特称命题知正确.当函数为偶函数时,有=2+k(kZ),所以其为充要条件,所以正确.因为sin x+cos x=2sinx+4的最大值为20,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是().A.x0R,12ax2-bxax02-bx0B.x0R,12ax2-bx12ax02-bx0C.xR,12ax2-bx12ax02-bx0D.xR,12ax2-bx12ax02-bx0【解析】因为x0满足方程ax=b,所以x0=ba.而12ax2-bx-12ax02-bx0=12ax2-bx-12aba2+bba=12ax2-bx+b22a,令h(x)=12ax2-bx+b22a,则其对应的一元二次方程12ax2-bx+b22a=0的判别式=b2-412ab22a=0.又a0,故对xR,有h(x)0恒成立,即对xR,12ax2-bx12ax02-bx0恒成立.【答案】D二、填空题13.已知命题p:函数f(x)=log0.5(3-x)的定义域为(-,3);命题q:若k0,得x3,故命题p为真,p为假.又由k0,得函数h(x)=kx在(0,+)上是增函数,故命题q为假,q为真.所以命题“pq”为假,命题“p(q)”为真,命题“pq”为真,命题“(p)(q)”为假.【答案】14.已知p:-4x-a0,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.【解析】p:a-4xa+4,q:2xb+d”是“ab且cd”的必要不充分条件.【解析】当x=1时,x2=x成立,反之,不一定,所以“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件,所以正确.函数y=cos2kx-sin2kx=cos 2kx,其最小正周期T=2|2k|=|k|,当k=1时,T=;当|k|=时,k=1.所以不正确.转化为等价命题,即判断“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件,由于x2=1时,x=1,不一定有x=1,所以充分条件不成立,所以不正确.a+cb+d不一定有ab且cd,但ab且cd时,必有a+cb+d,所以正确.综上可知,正确结论的序号为.【答案】16.命题“对于正数a,若a1,则lg a0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为m.命题“设nN*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根”是真命题,则logmn的值为.【解析】原命题“对于正数a,若a1,则lg a0”是真命题,逆命题“对于正数a,若lg a0,则a1”是真命题,所以其否命题与逆否命题都是真命题.所以m=4.因为一元二次方程x2-4x+n=0有整数根,所以由=16-4n0得n4,又因为nN*,所以n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意.因此,logmn=log43或logmn=log44=1.【答案】log43或1三、解答题17.为圆周率,a,b,c,dQ,已知命题p:若a+b=c+d,则a=c且b=d.(1)写出p并判断真假;(2)写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假.【解析】(1)p:若a+b=c+d,则ac或bd.因为a,b,c,dQ,由a+b=c+d,得(a-c)=d-bQ,所以a=c且b=d.故p是真命题,p是假命题.(2)逆命题:若a=c且b=d,则a+b=c+d.它是真命题.否命题:若a+bc+d,则ac或bd.它是真命题.逆否命题:若ac或bd,则a+bc+d.它是真命题.18.给出下列两个命题:命题甲:关于x的不等式x2+(a-1)x+a20的解集为;命题乙:函数y=(2a2-a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.【解析】当命题甲为真时,=(a-1)2-4a213或a1,解得a1或a-12.(1)当甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,所以a的取值范围是a|a13.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:当甲真乙假时,13a1;当甲假乙真时,-1a-12.所以甲、乙中有且只有一个真命题时,a的取值范围为a|-1a-12或13a1.19.解答下列问题.(1)是否存在实数m,使得2x+m0的充分条件?(2)是否存在实数m,使得2x+m0的必要条件?【解析】(1)欲使得2x+m0的充分条件,则只要x|x-m2x|x3,则只要满足-m2-1,即m2.故存在实数m2,使得2x+m0的充分条件.(2)欲使得2x+m0的必要条件,则只要x|x-m2x|x3.而这是不可能的,故不存在实数m,使得2x+m0的必要条件.20.设a,b,c为ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.【解析】充分性:因为A=90,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.所以x+(a+c)x+(a-c)=0.所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),同样,方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即x+(c+a)x+(c-a)=0,所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发现,x1=x3,所以这两个方程有公共根.必要性:设x是这两个方程的公共根,则x2+2ax+b2=0,x2+2cx-b2=0.由+,得x=-(a+c)或x=0(舍去).代入并整理得a2=b2+c2.所以A=90.所以结论成立.21.已知aR,命题p:对于x1,2,不等式x2+2ax-20恒成立;命题q:关于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-20的解集为空集.当p,q中有且仅有一个为真命题时,求实数a的取值范围.【解析】因为对于x1,2,不等式x2+2ax-20恒成立,所以2a2-x2x=2x-x在x1,2上恒成立.令g(x)=2x-x,则g(x)在1,2上是减函数,所以g(x)max=g(1)=1,所以2a1,所以若命题p为真,则a12.当命题q为真时,a应满足a=1或a2-112,a1或a0成立.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题(p)(q)为真命题,且命题pq为真命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为方程x2-4mx+1=0有实根,所以=16m2-40,解得m-12或m12.所以实数m的取值范围是-,-1212,+.(2)设f(x)=mx2-2x-1.当m=0时,f(x)=-2x-1,q为真命题;当m0时,q为真命题;当m0,解得-1m0.综上可得实数m的取值范围是(-1,+).(3)因为(p)(q)为真,pq为真,所以p,q必定一真一假,则m-12或m12,m-1或-12m-1,所以实数m的取值范围是(-,-1-12,12.
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