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专题28 选修部分 文考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.含绝对值不等式的解法文解绝对值的几何意义,会证明和求解绝对值不等式掌握2017课标全国,23;2016课标全国,24解答题2.不等式的证明了解证明不等式的基本方法掌握2017课标全国,23;2016课标全国,24解答题分析解读1.本章主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1【2018年文数天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处文直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法2【2018年文北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=_【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.详解：因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.3【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得OAB=最后根据直角三角形OBA求弦长.点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.4【2018年文新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程； （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程【答案】 (1）（2）综上，所求的方程为【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.5【2018年全国卷文】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程【答案】（1）（2） 为参数， 【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。（2）联立方程，由根与系数的关系求解点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。6【2018年文数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率详解：（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整文得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin ).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.7【2018年江苏卷】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值【答案】4【解析】分析：根据柯西不等式可得结果.点睛：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推文论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi(i1，2，n)时，等号成立8【2018年文新课标I卷】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围【答案】(1).(2)【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果. 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.9【2018年全国卷文】设函数（1）画出的图像；（2）当，求的最小值【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值详解：（1） 的图像如图所示点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题。10【2018年文数全国卷II】设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围【答案】（1）,(2)【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向2017年高考全景展示1.【2017天津，文11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_.【答案】2【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点【考点】极坐标【名师点睛】再利用公式 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.2.【2017北京，文11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为_.【答案】1【解析】【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行3. 【2016年高考北京文数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则_.【答案】2【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为过圆圆心，因此，故填：.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x以及，同时要掌握必要的技巧.4.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.【解析】试题分析：（1）先将曲线和直线l化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线的普通方程为，设上的点，的距离为.对a进行讨论当和当时，求出a的值.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.5.【2017课标1，文】已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）将代入，不等式等价于，对按，讨论，得出最值的解集；（2）当时，.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题.6. 【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。【答案】(1)；(2) 。【解析】试题分析：(1)设出P的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；(2)利用(1)中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为。（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积当时，S取得最大值。所以面积的最大值为。【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。7.【2017课标II，文23】已知。证明：（1）；（2）。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】试题分析：(1)第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；(2)第二问利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论。 (2)因为所以，因此。【考点】 基本不等式；配方法。【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定文，经过逐步的逻辑推文最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。8.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)利用题意首先得到曲线 的参数方程，然后消去参数即可得到曲线 的普通方程；(2)联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径的值为 （2）C的极坐标方程为 .联立得.故，从而 . 代入得，所以交点M的极径为.【考点】 参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.9.【2017课标3，文23】已知函数f（x）=x+1x2.（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)将函数零点分段然后求解不等式即可；(2)利用题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是（2）由得，而且当时，.故m的取值范围为.【考点】 绝对值不等式的解法【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.10.【2017江苏，21】A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足.求证：（1） （2）.【答案】见解析（2）由（1）知，故，所以【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定文及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握2应用相交弦定文、切割线定文要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵 A= ，B=. （1）求; （2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.【答案】（1）（2）（2）设为曲线上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为,则，即，所以.因为在曲线上，所以，从而，即. 因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线.【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：（2）矩阵变换注意变化前后对应点：表示点在矩阵变换下变成点C. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法 2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知为实数，且证明【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi(i1,2，n)时，等号成立.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a【答案】（I）圆,（II）1【解析】试题分析：先把化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ：,：,方程相减得,这就是为的方程,对照可得.考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修45：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集【答案】（I）见解析（II）【解析】试题解析：如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法3.【2016高考新课标2文数】选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先求直线的极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定文，弦长公式求出，进而求得，即可求得直线的斜率 试题解析：（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性.4.【2016高考新课标2文数】选修45：不等式选讲已知函数，为不等式的解集（）求；（）证明：当时，【答案】（）；（）详见解析.【解析】试题分析：（I）分，和三种情况去掉绝对值，再解不等式，即可得集合；（）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，确定和的符号，从而证明不等式成立.试题解析：（I）当时，由得解得；当时， ；当时，由得解得.所以的解集.考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为， (此处设)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用的几何意义：数轴上到点和的距离之和大于的全体， (3)图象法：作出函数和的图象，结合图象求解5. 【2016高考新课标3文数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【答案】（）的普通方程为，的直角坐标方程为；（）【解析】试题分析：（）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可试题解析：（）的普通方程为，的直角坐标方程为. 5分考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处文不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处文，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解6. 【2016高考新课标3文数】选修4-5：不等式选讲已知函数（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数当时，求的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；（）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可试题解析：（）当时，.解不等式，得，因此，的解集为. 5分（）当时，当时等号成立，考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对，当且仅当时，等号成立，对，如果，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立
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